14. Статистическое определение вероятности

Пусть А – случайное событие по отношению к некоторому испытанию. Проведем это испытание n раз и пусть событие А произошло m раз. Составим отношение . Оно называется относительной частотой события А. Эта частота обладает свойством устойчивости: с увеличением количества опытов она приближается к некоторому постоянному числу, стабилизируясь около него. Данный факт служит основой для еще одного определения вероятности – статистического.

Определение 14.1. Вероятностью события А в данном испытании называется число Р(А), около которого группируются значения относительной частоты при больших n.

Таким образом, относительная частота приближенно равна вероятности и тем точнее, чем больше число испытаний. Поэтому на практике поступают следующим образом. Чтобы найти вероятность изготовления данным станком годной детали, проверяют некоторую партию, например, из 200 деталей и определяют количество годных. Допустим, их количество – 190. Относительная частота . Это число и принимают приближенно за вероятность нормальной работы станка.

15. Геометрические вероятности

B C D

Рассмотрим такую задачу. Круглая мишень разбита на 4 сектора и вращается вокруг центра. Стрелок стреляет в мишень один раз. Какова вероятность, что он попадет в сектор ОАВ ? Здесь классическое определение

не годится, так как каждое событие изображается точкой круга, а их – бесконечное множество. В этом случае вероятность попадания в сектор ОАВ будет равна отношению площади сектора ОАВ к площади всего круга. . Геометрическое определение вероятности события формулируется следующим образом.

Определение 15.1. Вероятностью события называется отношение меры множества благоприятных элементарных событий (исходов) к мере множества всех элементарных событий.

В качестве меры, как правило, выступают длина, площадь и объем.

Рассмотрим примеры на вычисление вероятностей.

Пример 37. На шести одинаковых карточках написаны буквы А, В, К , С , О, М. Карточки перемешиваются и раскладываются в ряд случайным образом. Какова вероятность, что получилось слово «Москва»?

Решение. Обозначим событие А: «Получилось слово «Москва»». По формуле (13.1) . Найдем n – общее число исходов. Если мы раскладываем 6 карточек в ряд, то число всевозможных вариантов будет равно количеству перестановок из шести элементов:

n = Р₆ = 6! = 123456 = 720.

А благоприятный исход всего один – когда получилось слово «Москва». Итак, m = 1, . Ответ:

Пример 38. В урне 14 белых и 6 черных шаров. Из нее наугад извлекается один шар. Найти вероятность того, что этот шар – черный.

Решение. Пусть А: «Извлечен черный шар». Общее число исходов n = 20, благоприятных m =6. . Ответ: 0,3

Пример 39. Из букв слова «событие» наугад извлекаются и раскладываются в ряд 3 буквы. Какова вероятность, что получится слово «быт»?

Решение. , m =1, .

Ответ:

Пример 40. Окрашенный деревянный куб с ребром 10 см распилен на кубики с ребром 2 см. Кубики перемешали и наугад извлекли 1 кубик. Какова вероятность, что он имеет а) три окрашенные грани; б) две окрашенные грани; в)одну окрашенную грань; г) не окрашен.

Решение. Каждое ребро куба разбито на 5 частей, значит, всего кубиков 5³ = 125. Событие А: «У кубика 3 окрашенных грани». Такие кубики находятся в вершинах куба, их 8 штук, поэтому . В: «У кубика 2 окрашенных грани». Вдоль каждого ребра имеется по 3 таких кубика, всего их – 3 12 = 36. .

С: «У кубика 1 окрашенная грань», m = 9  6 = 54, . Наконец, событие D: «Кубик не окрашен». m = 27, . Заметим, что все эти вероятности в сумме дают 1 и образуют полную группу событий.

Ответ:

Пример 41. В ящике перемешаны 10 синих и 8 зеленых носков. Наугад вынимаются 2 носка. Какова вероятность, что они: а) оба синие; б) одного цвета; в) разных цветов ?

Решение. События, вероятность которых надо найти в пунктах а), б), в) обозначим соответственно А, В, С. Поскольку во всех трех случаях из 18 носков выбирается 2, то общее число исходов . Число благоприятных исходов в первом случае , во втором – по правилу суммы 73, в третьем – по правилу произведения m = 10 8 = 80. Находим:

Ответ: 0,3; 0,48; 0,52

Пример 42. В коробке 5 красных и 7 зеленых карандашей. Из нее случайно выпали 3 карандаша. Найти вероятность того, что два из них – красные?

Решение. А: «Выпало 2 красных и 1 зеленый карандаш». Общее число исходов . Для нахождения m заметим, что 2 красных карандаша из 5 красных можно выбрать способами, а 1 зеленый из 7 зеленых – способами. И, по правилу произведения, . Итак, .

Ответ: 0,32

Пример 43. По многолетним наблюдениям среднее число солнечных дней в сентябре на Алтае равно 12. Какова вероятность, что 16 сентября будет пасмурная погода?

Решение. Здесь мы используем статистическое определение и за вероятность приближенно принимаем относительную частоту пасмурных дней: . Ответ: 0,6

Пример 44. В круг радиуса 5 брошена точка. Найти вероятность того, что она окажется внутри вписанного в этот круг равностороннего треугольника.

А В С О Н

Решение. Согласно геометрического определения, вероятность равна отношению площадей треугольника и круга. СО =5, СН = 1,5 5 = 7,5. Полагая АН = х, АС =2х, По теореме Пифагора АС2 = АН2 + СН2, 4х2 = х2 + 7,52. Отсюда находим:

. ; .

А: «Точка попала внутрь треугольника». =

 0,41. Ответ: 0,41