25. Теорема Коши.

Теорема Коши. Если f(x) и g(x) – две функции, непрерывные на [a; b] и дифференцируемые внутри него, причем g'(x) ≠ 0 при всех x  (a; b), то внутри отрезка [a; b] найдется хотя бы одна точка c  (a; b), что  .

Доказательство.Определим число  . Заметим, что g(b) – g(a) ≠ 0, т.к. в противном случае выполнялось бы равенство g(b)=g(a) и по теореме Ролля в некоторой точке d  (a; b)g'(d) = 0. Это противоречит условию теоремы.

Составим вспомогательную функцию.

F(x) = f(x) – f(a) – k[g(x) – g(a)].

Несложно заметить, что F(a)=F(b)=0. Функция F(x) удовлетворяет на [a;b] всем условиям теоремы Ролля. Следовательно, найдется число сÎ(a; b) такое, что F'(c) = 0. Но

F'(x) = f'(x) – k·g(x), а значит F'(c) = f'(c) – k·g'(c) = 0,

откуда .

Заметим, что теорему Коши нельзя     доказать, применяя теорему Лагранжа к числителю и знаменателю дроби k.

26. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределённостей+27. Раскрытие неопределенностей вида

Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей.

Теорема:

Пусть функция y=f(x) и функция y=g(x) удовлетворяют следующим условиям:

1. Определены и непрерывны в проколотой окрестности O(a, сигма );

2. Дифференцируемы в проколотой окрестности O(a, сигма);

3. g'(x) 0 X (a;b);

4.   ;

5. Существует  при дельта x, стремящемся к a,

тогда имеет место равенство: 

(при дельта x стремещихся к a в обоих пределах)

Раскрытие неопределенностей других видов:

1.     при дельта х, стремящихся к а в обоих пределах

 при дельта х, стремящемся к а.

2.    при дельта х, стремящемся к а.

Далее по правилу Лопиталя.

1.

при дельта х, стремящемся к а.

28. Формула Тейлора для многочлена

Формула Тейлора для многочленов.

(2')

- остаточный член.

ОСТАТОЧНЫЙ ЧЛЕН ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА

В форме Лагранжа:

В форме Коши:

29. Формула Тейлора для функций

Формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки. Формула Тейлора функции часто используется при доказательстве теорем в дифференциальном исчислении.

См.тетрадь

30. Формула Тейлора для функций , , ln (1+x).

 Основные разложения в ряд Тейлора 

31. Возрастание и убывание функции. Задачи на экстремум

Функция f(x) называется возрастающей в интервале (a,b), если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f(x) также возрастают, т.е. если

f(x₂) > f(x₁) при x₂ > x₁.

Рис.1 (а)

  Из этого определения следует, что у возрастающей в интервале (a,b) функции f(x) в любой точке этого интервала приращения x и y имеют одинаковые знаки.   График возрастающей функции показан на рисунке 1(а).

Функция f (x) называется убывающей в интервале ( a, b ) если при возрастании аргумента x в этом интервале соответствующие значения функции f (x) убывают, т.е. если

f(x₂) < f(x₁) при x₂ > x₁.

  Из этого определения следует, что у убывающей в интервале ( a, b ) функции f (x) в любой точке этого интервала приращения x и y имеют разные знаки.   График убывающей функции показан на рисунке 1(б).

Рассмотрим график непрерывной функции y=f(x), изображенной на рисунке. Значение функции в точке x₁ будет больше значений функции во всех соседних точках как слева, так и справа от x₁. В этом случае говорят, что функция и меет в точке x₁ максимум. В точке x₃ функция, очевидно, также имеет максимум. Если рассмотреть точку x₂, то в ней значение функции меньше всех соседних значений. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x₂ минимум. Аналогично для точки x₄.

Функция y=f(x) в точке x₀ имеет максимум, если значение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x₀, т.е. если существует такая окрестность точки x₀, что для всех x≠x₀, принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x)<f(x₀).

Функция y=f(x) имеет минимум в точке x₀, если существует такая окрестность точки x₀, что для всех x≠x₀, принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x)>f(x₀.

Т очки, в которых функция достигает максимума и минимума, называются точками экстремума, а значения функции в этих точках экстремумами функции.

Обратим внимание на то, что функция, определенная на отрезке, может достигать максимума и минимума только в точках, заключенных внутри рассматриваемого отрезка.

Отмети, что если функция имеет в точке максимум, то это не означает, что в этой точке функция имеет наибольшее значение во всей области определения. На рисунке, рассмотренном выше, функция в точке x₁ имеет максимум, хотя есть точки, в которых значения функции больше, чем в точке x₁. В частности, f(x₁) < f(x₄) т.е. минимум функции больше максимума. Из определения максимума следует только, что это самое большое значение функции в точках, достаточно близкихк точке максимума

Теорема 1. (Необходимое условие существования экстремума.) Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет в точке x= x₀ экстремум, то ее производная в этой точке обращается в нуль. Примеры.

y=|x|.

Функция не имеет производной в точке x=0 (в этой точке график функции не имеет определенной касательной), но в этой точке функция имеет минимум, так как y(0)=0, а при всех x≠ 0y > 0.

Теорема 2. (Достаточное условие существования экстремума.) Пусть функция непрерывна на некотором интервале, содержащем критическую точку x₀, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки x₀). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то в точке x = x₀ функция имеет максимум. Если же при переходе через x₀ слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум.

Таким образом, если

1. f '(x)>0 при x<x₀ и f '(x)<0 при x> x₀, то x₀ – точка максимума;

2.  при x<x₀ и f '(x)>0 при x> x₀, то x₀ – точка минимума.

Доказательство. Предположим сначала, что при переходе через x₀ производная меняет знак с плюса на минус, т.е. при всех x, близких к точке x₀ f '(x)>0 для x< x₀, f '(x)<0 дляx> x₀. Применим теорему Лагранжа к разности f(x) - f(x₀) = f '(c)(x- x₀), где c лежит между x и x₀.

1. Пусть x < x₀. Тогда c< x₀ и f '(c)>0. Поэтомуf '(c)(x- x₀)<0и, следовательно,

f(x) - f(x₀)<0,т.е. f(x)< f(x₀).

2. Пусть x > x₀. Тогда c> x₀ и f '(c)<0. Значитf '(c)(x- x₀)<0. Поэтому f(x) - f(x₀)<0,т.е.f(x) < f(x₀).

Таким образом, для всех значений x достаточно близких к x₀ f(x) < f(x₀). А это значит, что в точке x₀ функция имеет максимум.

Аналогично доказывается вторая часть теоремы о минимуме.

Проиллюстрируем смысл этой теоремы на рисунке. Пусть f '(x₁)=0 и для любых x, достаточно близких к x₁, выполняются неравенства

f '(x)<0 при x< x₁, f '(x)>0 при x> x₁.

Тогда слева от точки x₁ функция возрастает, а справа убывает, следовательно, при x = x₁ функция переходит от возрастания к убыванию, то есть имеет максимум.

Аналогично можно рассматривать точки x₂ и x₃.

Схематически все вышесказанное можно изобразить на картинке:

Правило исследования функции y=f(x) на экстремум

1. Н айти область определения функции f(x).

2. Найти первую производную функции f '(x).

3. Определить критические точки, для этого:

   1. найти действительные корни уравнения f '(x)=0;

   2. найти все значения x при которых производная f '(x) не существует.

4. Определить знак производной слева и справа от критической точки. Так как знак производной остается постоянным между двумя критическими точками, то достаточно определить знак производной в какой-либо одной точке слева и в одной точке справа от критической точки.

5. Вычислить значение функции в точках экстремума.

Примеры. Исследовать функции на минимум и максимум.

1. . Область определения функции D(y)=R.

Найдем производную заданной функции 

Определим критические точки  . Производная не существует при х₂= 0. Следовательно, критические точки: 0 и 2/5. Нанесем их на числовую ось и определим знак производной на каждом из полученных промежутков.