Вопрос 9.
п.1. Базис на прямой, на плоскости и в пространстве.
Определение.
Любое конечное множество векторов 
называется
системой векторов.
Определение.
Выражение 
,
где 
называется
линейной комбинацией системы векторов
,
ачисла 
называются
коэффициентами этой линейной комбинации.
Пусть
L, Р и S – прямая, плоскость и
пространство точексоответственно
и 
.
Тогда 
– векторные пространствавекторов как
направленных отрезков на прямой L,
на плоскости Р
и впространстве S
соответственно.
Определение.
Базисом векторного пространства 
называется
любой ненулевой вектор 
,
т.е. любой ненулевой вектор
коллинеарныйпрямой L: 
и 
.
Обозначение
базиса
: 
–
базис
.
Определение.
Базисом векторного пространства 
называется
любая упорядоченная пара
неколлинеарных векторов пространства
.
рис.1.
,
где 
, 
–
базис
.
Определение.
Базисом векторного пространства 
называется
любая упорядоченная тройка
некомпланарных векторов (т.е.
не лежащих в одной плоскости) пространства
.
рис.2.
–
базис
.
Замечание. Базис векторного пространства не может содержать нулевого вектора: в пространстве по определению, в пространстве двавектора будут коллинеарные, если хотя бы один из них нулевой, впространстве три вектора будут компланарные, т.е будут лежать в одной плоскости, если хотя бы один из трех векторов будет нулевой.
п.2. Разложение вектора по базису.
Определение.
Пусть 
–
произвольный вектор,
–
произвольная система векторов.
Если выполняется равенство
,
(1)
то говорят, что вектор представлен в виде линейной комбинации данной системы векторов. Если данная система векторов является базисом векторного пространства, то равенство (1) называется разложением вектора по базису . Коэффициенты линейной комбинации называются в этом случае координатами вектора относительно базиса .
Теорема. (О разложении вектора по базису.)
Любой вектор векторного пространства можно разложить по его базису и притом единственным способом.
Док-во http://fxdx.ru/page/razlozhenie-vektora-po-bazisu
1) Существует взаимно однозначное соответствие между множествомвекторов векторного пространства и множеством действительныхчисел R.
2)
Существует взаимно однозначное
соответствие между множествомвекторов векторного пространства
и
декартовым квадратом 
множества
действительных чисел R.
3)
Существует взаимно однозначное
соответствие между множествомвекторов векторного пространства
и
декартовым кубом 
Док-во http://fxdx.ru/page/razlozhenie-po-bazisu-prodolzhenie
Координа́ты
ве́ктора ―
коэффициенты единственно возможной линейной
комбинации базисных векторов в
выбранной системе
координат,
равной данному вектору.
где 
—
координаты вектора.
Свойства
Равные векторы в единой системе координат имеют равные координаты
Координаты коллинеарных векторов пропорциональны:
Подразумевается, что координаты вектора b не равны нулю. Квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат:
При умножении вектора на
действительное число каждая его
координата умножается на это число:
При сложении
векторов соответствующие
координаты векторов складываются:
Скалярное
произведение двух
векторов равно сумме произведений их
соответствующих координат:
Векторное
произведение двух
векторов можно вычислить с
помощью определителя матрицы
Где 
Аналогично, смешанное
произведение трех
векторов можно найти через определитель
Линейные операции с векторами в координатной форме записи.
Пусть
–
базис пространства
и 
–
два его произвольных вектора.
Пусть 
и 
– записьэтих векторов в координатной форме.
Пусть, далее, 
–
произвольное действительное число. В
этих обозначениях имеет место следующая
теорема.
Теорема. (О линейных операциях с векторами в координатной форме.)
1) 
;
2) 
.
Другими словами, для того, чтобы сложить два вектора нужно сложить их соответствующие координаты, а чтобы умножить вектор на число, нужно каждую координату данного вектора умножить на данное число.
Доказательство.
Так как по условию теоремы 
, 
,
то используя аксиомы векторного пространства,
которым подчиняются операции сложения векторов и
умножения вектора на
число, получаем:
.
Отсюда следует .
Аналогично доказывается второе равенство.
Теорема доказана.