§28. Вычисление ротора и оператора Лапласа в криволинейных координатах.
3. Оператор Лапласа.
.
Если
,
то:
,
,
.
(9)
Подставляя (9) в (8), получаем:
.
(10)
Оператор Лапласа в цилиндрической системе координат.
В §25 мы доказали, что для цилиндрической
системы координат
,
,
.
Согласно выражению (10) получаем:
.
Оператор Лапласа в сферической системе координат.
Аналогично предыдущему случаю имеем:
,
,
,
,
.
§Доп. Дифференциальные операции второго порядка.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство.
.
(1)
Введём обозначение:
.
(2)
Тогда из (1) имеем:
.
Оператор Лапласа может действовать не только на скалярные поля, но и на векторные. Согласно формуле (2):
.
Найдём ротор от ротора (используя формулы из §23):
.
Используя
свойство 3 из параграфа 22, получаем (так
как
- константа, то её можно выносить за
пределы оператора
):
.
(3)
Так как
,
то из (3) получаем:
,
что и требовалось доказать.
Раздел 3: Ряды Фурье §29.Ряд Фурье по ортонормированной системе функций, минимальное свойство частичной суммы ряда Фурье, неравенство Бесселя.
В линейной алгебре было рассмотрено Евклидово пространство. Это линейное пространство, в котором определена симметричная билинейная форма, соответствующая которой квадратичная форма положительно определена. Далее скалярное произведение будем обозначать следующим образом:
.
Будем рассматривать пространство
кусочно-непрерывных функций на отрезке
,
которое будем обозначать
.
Но будем рассматривать не все
кусочно-непрерывные функции. Потребуем,
чтобы наши функции удовлетворяли
условию:
,
то есть значение функции в точке разрыва есть среднее арифметическое между соседними значениями (см. рис.). Можно также убедиться, что множество таких непрерывных функций образует линейное пространство.
Введём операцию скалярного произведения:
.
Линейное пространство называется
нормированным, если всякому элементу
,
принадлежащему этому пространству,
ставится в соответствие действительное
число
,
причём:
1.
,
.
2.
.
3.
.
Если
ввести, что
,
то Евклидово пространство становится
нормированным.
Некоторая система функций
называется ортогональной, если
при
и
.
Эта система называется ортонормированной,
если
.
Пример.
Система
функций
(1) - эта система функций является
ортогональной на отрезке
.
,
,
,
при
.
Аналогично
при
.
Так же и
при
.
Систему функций (1) можно преобразовать в ортонормированную:
.
Рядом Фурье функции
по ортонормированной системе функций
(2) назовём ряд
,
(3) где
(4).
Обозначим
- частичные суммы ряда Фурье,
(5) - некоторые другие суммы.
Расстоянием или отклонением
между функциями
и
назовём :
.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Теорема. Наименьшее отклонение сумм
(5) от функции
даёт n-ная частная сумма
ряда Фурье. (то есть при подстановке в
(5)
вместо
получим наименьшее отклонение).
Доказательство.
Рассмотрим
норму
.
Согласно данному выше определению нормы
имеем:
.
Так как
(это две одинаковые суммы, суммирование
у которых происходит по разным индексам),
то имеем:
.
Очевидно,
что сумма будет минимальной, если
,что
и требовалось доказать.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Следствие 1.
Для
всякой ортонормированной системы
функций
и всякого
имеет место неравенство:
,
(6)
где
- произвольные числа.
Доказательство
вытекает из равенства
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Следствие 2.
Для
всякой ортонормированной системы
функций
и кусочно-непрерывной функции
,
имеет место неравенство Бесселя:
,
(7) где
- коэффициенты Фурье функции
.
Доказательство.
Из неравенства (6) имеем:
(8)
Левые части неравенства (8) представляют
собой частичные суммы ряда
(9). Они образуют возрастающую
последовательность, ограниченную сверху
в силу неравенства (8). Следовательно,
такая последовательность сходящаяся,
следовательно ряд (9) сходится и его
сумма не превосходит
.