Интегрирование по частям

Интегрирование по частям является одним из основных методов интегрирования.

Если функции u(x) и v(x) являются непрерывно дифференцируемыми в некотором промежутке, то для всех x из этого промежутка справедлива формула:

При использовании этой формулы обычно обозначают:

ПРИМЕР 18. Вычислить интеграл .

Обозначим u(x) = 3x – 4, dv = cos2x dx и найдём du и v(x).

du = (3x - 4)´dx = 3dx, .

(Можно показать, что при интегрировании dv произвольную постоянную C можно взять равной нулю). Подставим v и du в формулу интегрирования по частям.

ПРИМЕР 19. Вычислить интеграл .

Вычисление определенных интегралов. Формула ньютона-лейбница

Если нужно вычислить определённый интеграл , то применяют формулу Ньютона-Лейбница:

ПРИМЕР 20. Вычислить интеграл .

Для интегрирования по частям в определённом интеграле применяется формула:

где u(x) и v(x) – непрерывно дифференцируемые функции на [a, b].

ПРИМЕР 21. Вычислить интеграл .

Замена переменных

Одним из основных методов интегрирования является метод замены переменной. В неопределённом интеграле его применение основано на свойстве 6.

ПРИМЕР 22. Вычислить интеграл

Чтобы избавиться от корня, сделаем замену переменной = t. Тогда x = t², dx = 2t dt.

^.

-1

При использовании замены переменной в определённом интеграле опираются на следующую теорему.

Если: 1) f(x) непрерывна на [a,b],

2) g(t) и g´(t) непрерывны на [α,β],

3) a = g(α), b = g(β), g(t) [a,b] при t [α,β], то

ПРИМЕР 23. Вычислить интеграл

Чтобы избавиться от иррациональности, нужно положить x + 1 = t^k . Степень k надо выбрать так, чтобы из t^k извлекались корень квадратный и корень четвёртой степени.

-

-

-

-

-

Несобственные интегралы

Несобственным интегралом первого рода называется интеграл:

Если предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся. Если предел равен бесконечности или не существует, то интеграл называется расходящимся.

ПРИМЕР 24. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

ПРИМЕР 25. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

То есть интеграл расходится.

Числовые ряды

Пусть a_n – некоторые числа. Выражение называется числовым рядом с общим членом a_n.

Сумма первых k членов ряда называется k-oй частичной суммой этого ряда и обозначается S_k , т.е. .

Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел .

Если или не существует, то ряд называется расходящимся.

Для определения сходимости ряда существует достаточно много признаков сходимости. Рассмотрим некоторые из них.