§3. Ізоморфні лінійні простори.

1. Означення ізоморфних лінійних просторів. Поняття лінійного простору складається з двох істотно різних частин. З одного боку, лінійний простір є множиною елементів, які можуть мати найрізноманітнішу природу – многочлени, матриці, неперервні функції, напрямлені відрізки і т.п. З другого боку, в лінійному просторі визначено лінійні операції. В алгебрі цікавляться саме властивостями операцій, а конкретну природу елементів ігнорують. З такої точки зору деякі лінійні простори збудовані однаково, незалежно від конкретної природи їх елементів, тобто з алгебраїчної точки зору такі простори неможливо відрізнити один від одного. Більш точно цей аспект теорії лінійних просторів описується за допомогою поняття ізоморфізму.

Відображенням множини у множину називається будь-яке правило, за яким кожному елементові відповідає єдиний елемент і позначається , і т.п. При цьому елементи множини називаються прообразами, а елементи множини – образами відображення . Якщо при цьому , то відображення називається перетворенням множини .

Відображення множини в множину називається взаємно однозначним, якщо для нього справджуються такі умови:

1) , , , , , ;

2) .

В сучасній математичній літературі відображення називають ін’єктивним, якщо для нього справджується умова 1); якщо ж для відображення справджується лише умова 2), то його називають сюр’єктивним; відображення, яке є одночасно ін’єктивним і сюр’єктивним, тобто взаємно однозначне відображення, називають бієктивним.

Нехай , . Відображення називається оберненим до відображення , якщо для будь-якого елемента . Обернене до відображення позначається . Очевидно, що взаємно однозначне відображення має обернене. Крім того, відображення є оберненим до відображення , .

Два лінійних простори та називаються ізоморфними, якщо існує взаємно однозначне відображення , для якого справджуються такі умови:

, (24)

, (25)

тобто образ суми двох векторів дорівнює сумі образів, а образ добутку вектора на число збігається з добутком образу цього вектора на те саме число. При цьому відображення називається ізоморфізмом.

Зазначимо, що умови (24), (25) можна об’єднати однією рівністю

.

Вправа. Довести, що якщо відображення є ізоморфізмом, то обернене відображення також є ізоморфізмом.

Зауважимо, що при ізоморфному відображенні образом нульового вектора простору є нуль простору . Справді, для будь-якого вектора простору , якому відповідає вектор простору , маємо

,

а це означає, що образ нуля є нулем простору .

2. Лема про природний ізоморфізм. Нехай та – два – вимірні лінійні простори з базисами та відповідно. Відображення , яке будь-якому векторові простору ставить у відповідність вектор простору за правилом

(26)

є ізоморфним відображенням простору на простір .

Доведення. Покажемо, що відображення взаємно однозначне. За теоремою існування та єдиності розкладу вектора, кожний вектор можна єдиним способом розкласти за векторами базису , . Якщо , і , то їх розклади відрізняються принаймні одним коефіцієнтом. Іншими словами, для деякого , . Образи , цих векторів при відображенні мають відповідно розклади , і тому . Отже, для відображення виконується умова 1) взаємно однозначного відображення. Далі, для будь-якого вектора лінійного простору існує вектор простору , що , тобто для відображення справджується умова 2) взаємно однозначного відображення. Таким чином, відображення взаємно однозначне.

Покажемо тепер, що є ізоморфним відображенням. Нехай , – два довільні вектори простору . Тоді, за (26), , . Звідси

;

.

Лему доведено.

Збудоване в цьому пункті відображення будемо називати природним ізоморфізмом.

3. Про лінійну залежність систем образів та прообразів при ізоморфному відображенні. Нехай лінійні простори , ізоморфні і нехай – який-небудь ізоморфізм.

Лема. Система векторів лінійного простору лінійно залежна тоді і лише тоді, коли лінійно залежна система образів цих векторів при ізоморфному відображенні .

Доведення. З огляду на рівноправність просторів та при ізоморфній відповідності досить розглянути лише той випадок, коли лінійно залежною є система векторів простору і показати, що лінійно залежною є система . Отже, нехай існують числа , серед яких є ненульові, що

.

Знайдемо образи обох частин цієї рівності при ізоморфному відображенні :

.

Застосуємо до лівої частини цієї рівності властивості (24), (25) разів і врахуємо, що є нулем простору . Тоді

,

або

,

що й означає, що система векторів лінійно залежна.

Наслідок. При ізоморфному відображенні будь-який – вимірний лінійний підпростір простору , , відображується в – вимірний лінійний підпростір простору .

4. Теорема про ізоморфні лінійні простори. Два скінченновимірні лінійні простори , ізоморфні тоді і лише тоді, коли їх вимірності збігаються.

Доведення. Якщо , то, за лемою про природний ізоморфізм, лінійні простори , ізоморфні .

Навпаки, нехай лінійні простори , ізоморфні, вектори утворюють базис простору , і нехай – яке-небудь ізоморфне відображення простору на простір . Система образів векторів базису при ізоморфному відображенні , за лемою попереднього пункту, лінійно незалежна. Покажемо, що вектори утворюють базис простору . Припустимо супротивне і нехай вектори не утворюють базису простору . Тоді, за теоремою про доповнення до базису, її можна доповнити до базису простору принаймні одним вектором . Але якщо система векторів лінійно незалежна, то, за лемою попереднього пункту, лінійно незалежною в просторі є система прообразів , , що неможливо. Звідси, – базис простору , тому і теорему доведено.

Підсумовуючи, можна сказати, що єдиною істотною характеристикою скінченновимірного лінійного простору є його вимірність.