Вопросы для самопроверки:

1. Что такое воображаемые построения?

2. Как с помощью основных построений в пространстве можно задавать плоскость, прямую, сферу?

3. Что понимается под проекционным чертежом?

4. Как можно определить, что такое изображение пространственной фигуры на проекционной плоскости?

5. Какие методы построения сечений фигур рассматриваются в школе? В чем их суть?

Литература: 4, 6, 14, 16.

Дополнительно:

1) «Математика в школе», №5 – 1991, с. 35-40.

Г.И. Саранцев «Обучение решению задач на построение сечений многогранников».

2) Л.М. Лоповок «Изображение фигур в стереометрии»

Преподавание геометрии в 9–10 кл. из серии «Библиотека учителя математики».

Лекция 11. Методика изучения координат, векторов и геометрических преобразований в пространстве в школьном курсе стереометрии.

План.

I. Роль и место материала в курсе стереометрии.

II. Методические особенности его изучения.

Содержание лекции:

Попытки введения более современных, чем традиционный синтетический, методов в курс стереометрии неоднократно предпринимались с конца 19 века в силу следующих соображений:

1. применение более современных методов позволяет существенно упростить и алгоритмизировать решение стереометрических задач и доказательство теорем.

2. необходимо было осовременить школьный курс стереометрии, приблизить его к насущным проблемам действительности.

3. большая прикладная значимость и многообразие межпредметных связей соответствующих разделов: векторы – в физике, координаты – в алгебре, геометрические преобразования – в картографии.

В XX веке были созданы новые курсы геометрии, сориентированные на преимущественное использование алгебраического метода (геометрия Шоке), метода геометрических преобразований – учебное пособие Колмогорова, векторный метод – пособие под ред. Скопеца и др.

Но введение в школу этих учебников не увенчались успехом из-за:

1. отрицательного влияния на развитие пространственных представлений школьников, их геометрической интуиции;

2. сложности перехода к новой аксиоматике (векторной или метрической);

3. не совсем достаточно удачного методического решения проблемы создания новых учебников, а также неподготовленности учителей к этому переходу.

В силу указанных причин авторы действующих в настоящее время учебников попытались найти оптимальное сочетание традиционно-синтетических и более современных подходов. При этом координаты, векторы и преобразования стали рассматриваться скорее как объекты изучения, чем как мощные методы решения задач и доказательства теорем.

Место данной темы в курсе стереометрии может быть различным:

а) В начале курса. При этом существенно облегчаются доказательства многих теорем традиционных разделов.

б) После рассмотрения параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве. Основное применение в темах многогранниках и телах вращения. (Как в учебнике Погорелова и частично в учебнике Атанасяна).

в) В конце курса стереометрии. При этом появляется возможность показа преимущества рассматриваемых методов перед традиционным при решении задач.

Однако, как правило, здесь не хватает времени на вторичное прохождение материала и возникает опасность путаницы в понятиях.

В учебнике А.В.Погорелова реализована следующая схема:

В учебнике Л.С. Атанасяна:

полигон аппарат

векторы координаты преобразования

(движения)

В учебнике Л.С. Атанасяна наименьшее внимание уделено геометрическим преобразованиям, в учебнике А.В. Погорелова – векторам.

II. Материал о координатах, векторах и преобразованиях в стереометрии подчеркнуть повторяет соответствующий планиметрический материал в действующих учебниках. При этом повторение планиметрии затруднено из-за недостатка времени. Следовательно, такое повторение целесообразно осуществлять в процессе ознакомления с соответствующими стереометрическими фактами и их доказательстве.

Например, при выводе формулы расстояния между точками, как в планиметрии, так и в стереометрии строится прямоугольный треугольник и применяется теорема Пифагора.

Таким образом, в стереометрии эти вопросы изучаются аналогично + этап сведения к планиметрическому аналогу. Поэтому можно использовать следующую методическую схему ее вида этой формулы:

1. Актуализация планиметрической формулы и идеи ее вывода.

2. При решении стереометрической задачи на интуитивном уровне записывается пространственный аналог.

3. Обсуждается возможность переноса идеи вывода планиметрической формулы на стереометрический факт.

4. Сведения пространственной конфигурации к плоскостной.

5. Осуществление доказательства по составленному плану:

а) сведения к планиметрическому анализу;

б) применение планиметрической идеи;

6)Закрепление доказательства в соответствии с известными этапами.

В действующих учебниках рассматриваются по существу только основной аппарат метода координат и векторной алгебры. При этом возможности применения этих методов при решении содержательных стереометрических задач и задач из других разделов весьма незначительны, и это оказывает отрицательное воздействие на осознание сущности данных методов в целом.

Учителю необходимо на материале стереометрии закрепить приобретенные ранее представления о существующих методах и их компонентах на основе использования системы специальных упражнений.

В конце изучения данной темы «Координаты, векторы, преобразования» целесообразно провести спаренный урок-семинар (лучше урок-практикум) по одновременному решению задач всеми методами и их сопоставительному анализу.

При этом отдельным группам учеников может быть предложена задача, которую необходимо решить одним из методов (либо на уроке, либо как домашнее задание). В процессе обсуждения решения со всем классом выделяются критерии применимости того или иного метода в данной ситуации, а также его плюсы и минусы.

На практике при решении содержательных стереометрических задач чаще приходится пользоваться более универсальным координатно-векторным методом.

Его использование наглядно можно увидеть при решении следующей задачи:

В треугольной пирамиде ДАВС плоские углы при вершине Д равны по 90 ⁰. Боковые ребра ДА = 6, ДВ = 8, ДС = 24. точка М равноудалена от всех вершин пирамиды. Найти расстояние ДМ. (Решать самостоятельно).

Задания для самостоятельной работы:

1. Провести сравнительный анализ содержания данного материала по учебникам: а) А.В. Погорелова; б) Л.С. Атанасяна и др.; в) И.М. Смирновой и В.А. Смирнова.

2. Составить конспект статьи А.Д. Александрова «Так что же такое вектор?» «Математика в школе», № 5 – 1984г., с.39-46.

3. Показать суть координатно-векторного метода при решении задачи:

4. В треугольной пирамиде ДАВС плоские углы при вершине Д равны по 90 ⁰. Боковые ребра ДА = 6, ДВ = 8, ДС = 24. точка М равноудалена от всех вершин пирамиды. Найти расстояние ДМ.