1.3. Диференційне рівняння теплопровідності для нерухомого середовища.

А налітичне вивчення процесів теплопровідності неможливе без встановлення залежності між величинами, що характеризують ці процеси і являються функціями просторових координат та часу. В основу виведення диференційного рівняння теплопровідності покладено закон збереження енергії, який в даному випадку може бути сформульований в наступному вигляді: кількість теплоти, що введено в елементарний об’єм ззовні внаслідок теплопровідності, а також від внутрішніх джерел дорівнює зміні внутрішньої енергії або ентальпії речовини (в залежності від розгляду ізохорного або ізобарного процесу), яка міститься в цьому об’ємі.

Р

Рис. 1.4 До виведення диференційного рівняння теплопровідності

озглянемо елементарний об’єм в прямокутній системі координат (рис. 1.4). Через поверхню за час повздовж осі підводиться кількість тепла:

.

Через протилежну сторону відводиться кількість теплоти .

Розкладемо функцію в ряд Тейлора і збережемо перші два члени:

Кількість теплоти, що залишилася в єлементарному об’ємі за час повздовж осі :

(1.7)

Аналогічно запишемо для зміни кількості теплоти повздовж осей і :

, (1.8)

Складемо (1.8) і (1.9) та знайдемо кількість теплоти , що була підведена до елементарного об’єму за час за рахунок теплопровідності

(1.9)

Всередині тіла може виділятися або поглинатися теплота в результаті, наприклад, хімічних або фазових перетворень, дії електричного струму та ін. Кількість теплоти, що виділяється внутрішніми джерелами теплоти в об’ємі за час є

(1.10)

де – потужність внутрішніх джерел теплоти.

Згідно закону збереження енергії для ізохорного процесу ( )

,

де – приріст внутрішньої енергії елементарного об’єма за час .

Так, як і з урахуванням (1.9) і (1.10) маємо:

або

, (1.11)

де – густина речовини, ; – ізохорна теплоємність одиниці маси, .

Для ізобарного процесу ( ) маємо

. (1.12)

Рівняння (1.11) і (1.12) являються диференційними рівняннями теплопровідності для ізохорного і ізобарного процесів відповідно. Для твердих тіл . Використовуючи закон Фур’є отримаємо диференційне рівняння теплопровідності в наступному вигляді:

. (1.13)

1.4. Окремі випадки диференціальних рівнянь теплопровідності. Класифікація задач теплопроводності.

В загальному випадку теплофізичні властивості p,с,λ залежать від температури. Тоді рівняння (1.9) є нелінійним, що ускладнює його розв’язок. Найбільш помітно властивості змінюються в області критичної точки стану речовини (для текучих середовищ) і при низьких температурах (нижче приблизно 120 К) – для твердих матеріалів. Такий випадок є типовим для криогеної техніки. Але можливі і більш прості варіанти.

1. Стаціонарна задача зводиться до розгляду натупного рівняння

(1.14)

При умові λ (T) = const, рівняння спрощується:

і у випадку відсутності внутрішніх джерел тепла, набуває вигляду рівняння Лапласа:

.

Оператор в різних системах координат представляється наступним чином:

• декартова: ;

• циліндрична: ;

• сферична: .

2. За умов, що теплофізичні властивості не залежать від температури, рівняння (1.9) спрощується:

, (1.15)

де – коефіцієнт температуропроводності, м²/с, що являється мірою теплоінерційних властивостей тіла. Чим вище це значення, тим більше швидкість зміни температури у визначеній точці при всіх інших рівних умовах. При рівняння (1.11) зводиться до лінійного однорідного диференційного рівняння.

.

Запис диференціального рівняння теплопровідності у будь-якій з наведених раніше формі припускає, що температура змінюється за всіма трьома координатами (тривимірна задача). На практиці часто приходиться мати справу із задачами, в яких суттєвим є зміна температура за двома або навіть за однією координати. Такі задачі носять назву відповідно двовимірної та одновимірної .

Рівняння теплопровідності в одновимірному випадку може бути переписане в узагальненому вигляді

, (1.16)

де n = 0; 1; 2 для відповідають декартовій, циліндричній і сферичній системі координат; х – узагальнена координата.

Для моделювання процесів теплопровідності в тілах однакової форми, але з різними властивостями і розмірами використовують безрозмірні величини:

, , .