2.2. Методика вирішення завдань лп графічним методом
І. У обмеженнях завдання (1.1) заміните знаки нерівностей на знаки точної рівності і побудуйте відповідні прямі.
II. Знайдіть і заштрихуйте півплощини, дозволені кожним з обмежень-нерівностей завдання (1.1). Для цього підставте в конкретну нерівність координати якої-небудь точки [наприклад (0;0)], і перевірте істинність отриманої нерівності.
Якщо нерівність достеменна,
то треба заштрихувати півплощину, що містить дану крапку;
інакше (нерівність помилкова) треба заштрихувати півплощину, що не містить дану крапку.
Оскільки
і
мають бути ненегативними, то їх допустимі
значення завжди знаходитимуться вище
за вісь
і правіше за вісь
,
тобто в І-ому квадранті.
Обмеження-рівність вирішують лише ті крапки, які лежать на відповідній прямій, тому виділите на графіці такі прямі.
III. Визначите ОДЗ як частину плоскості, що належить одночасно всім дозволеним областям, і виділите її. За відсутності ОДЗ завдання не має рішень, про що зробіть відповідний вивід.
IV. Якщо ОДЗ – не
порожня безліч, то побудуйте цільову
пряму, тобто будь-яку з ліній рівня
,
де L – довільне число, наприклад, кратне
і
,
тобто зручне для проведення розрахунків.
Спосіб побудови аналогічний побудові
прямих обмежень.
V. Побудуйте вектор
,
який починається в крапці (0;0), закінчується
в крапці
. Якщо цільова пряма і вектор
побудовані вірно, то вони будуть
перпендикулярні.
VI. При пошуку max ЦФ пересувайте цільову пряму у напрямі вектора , при пошуку min ЦФ – проти напряму вектора . Остання по ходу руху вершина ОДЗ буде точкою max або min ЦФ. Якщо такої точки (точок) не існує, то зробіть вивід про необмеженість ЦФ на безлічі планів зверху (при пошуку max) або знизу (при пошуку min).
VII. Визначите
координати точки max (min) ЦФ
і обчислите
значення ЦФ
.
Для обчислення координат оптимальної
точки
вирішите систему рівнянь прямих, на
пересіченні яких знаходиться
.
Завдання №2.01
Знайдемо оптимальне рішення задачі №1.01 про фарби, математична модель якої має вигляд
Побудуємо прямі обмежень, для чого обчислимо координати точок пересічення цих прямих з осями координат (ріс.2.2).
(1) –
(2) –
(3) –
Пряма (4) проходить
через точку
паралельно осі
.
Рис.2.2. Графічне розв’язання задачі №2.01
Визначимо ОДЗ.
Наприклад, підставимо точку (0;0) у вихідне
обмеження (3), отримаємо
,
що є дійсною нерівністю, тому стрілкою
(або штрихуванням) позначимо півплощину,
що
містить
точку (0;0), тобто розташовану правіше і
нижче прямої (3). Аналогічно визначимо
допустимі півплощини для останніх
обмежень і вкажемо їх стрілками біля
відповідних прямих обмежень (див.
рис.2.2). Загальною областю, дозволеною
всіма обмеженнями, тобто ОДЗ є багатокутник
ABCDEF.
Цільові пряму можна побудувати по рівнянню
Будуємо вектор із точки (0;0) в точку (3;2). Точка Е – це остання вершина багатокутника допустимих значень ABCDEF, через яку проходить цільова пряма, рухаючись по напряму вектора .Тому Е – це точка максимуму ЦФ. Визначимо координати точки Е з системи рівнянь прямих обмежень (1) і (2)
,
[т/добу].
Максимальне значення ЦФ рівне
[тис. грн. /добу]. Таким чином, найкращим
режимом роботи фірми є щодобове
виробництво фарби 1-го виду в об'ємі
т і фарби 2-го вигляду в об'ємі
т. Дохід від продажу фарб складе
тис. крб. в добу.