2 Числове диференціювання

Нехай маємо функцію яку необхідно продиференціювати декілька разів і знайти похідну в деякій точці. Якщо функцію задано явно, то вираз для похідної часто виявляється достатньо складним і бажано його замінити на більш простий. Якщо ж функція задана тільки в деяких точках (таблично), то отримати явний вид її похідної взагалі неможливо. В таких ситуаціях виникає необхідність наближеного (числового) диференціювання.

Найпростіша ідея числового диференціювання полягає в тому, щоб функцію замінювати інтерполяційним багаточленом (Лагранжа, Ньютона), а похідну наближеної функції замінювати відповідною похідною інтерполяційного багаточлена.

Розглянемо найпростіші формули числового диференціювання, які отримують вказаним способом.

Будемо вважати, що функція задана в рівновіддалених вузлах

ЇЇ значення та значення похідної у вузлах будемо позначати

Нехай функція задана у двох точках та її значення

Побудуємо інтерполяційний багаточлен першого ступеню

Похідна дорівнює

Похідну функції у точці наближено замінюємо похідною інтерполяційного багаточлена

(2.1)

Величина називається першою різницевою похідною.

Нехай задана в трьох точках Інтерполяційний багаточлен Ньютона другого ступеню має вигляд

Візьмемо похідну

У точці вона дорівнює

Отримаємо наближену формулу

(2.2)

Величина називається центральною різницевою похідною.

Нарешті, якщо взяти другу похідну

отримуємо наближену формулу.

(2.3)

Величина називається другою різницевою похідною.

Формули (2.1)-(2.3) називаються формулами числового диференціювання.

Покладаючи фунцію додатню кількість разів неперервно- диференційованою, отримаємо похибки наближених формул (2.1)-(2.3).

В подальшому нам знадобиться наступна лема.

Лема 2.1. Нехай довільні точки, Тоді існує така точка що

Доведення. Очевидна нерівність

За теоремою Больцано-Коші про проміжні значення неперервної функції на замкненому відрізку вона приймає всі значення між і Значить існує така точка що виконує вказану в лемі рівність.

Похідні формул числового диференціювання дає наступна лема.

Лема 2.2.

1) Покладемо, що Тоді існує така точка , що

(2.4)

2) Якщо то існує така точка , що

(2.5)

3) Коли існує така, що

(2.6)

Доведення. За формулою Тейлора

звідки виходить (2.4).

Якщо тоді за формулою Тейлора

(2.7)

де

Підставимо (2.7) в Отримаємо

Замінюючи у відповідності з лемою 2.1

отримаємо

Звідки і виходить (2.6).

Рівність (2.5) доводиться аналогічно (доведення виконати самостійно).

Формули (2.4)-(2.6) називається формулами числового диференціювання з залишковими членами.

Похибки формул (2.1)-(2.3) оцінюються за допомогою наступних нерівностей, які виходять з рівностей (2.4)-(2.6):

Кажуть, що похибка формули (2.1) має перший порядок відносно (або порядку ), а похибка формул (2.2) і (2.3) мають другий порядок відносно (або порядку ). Також кажуть, що формула числового диференціювання (2.1) першого порядку точності (відносно ), а формули (2.2) і (2.3) мають другий порядок точності.

Вказаним способом можна отримувати формули числового диференціювання для похідних більш старших порядків і для більшої кількості вузлів інтерполяції.

Вибір оптимально кроку. Припустимо, що границя абсолютної похибки при обчисленні функції у кожній точці задовольняє нерівність

(2.8)

Нехай в деякому околі точки похідні, через які виражаються остаточні члени в формулах (2.5), (2.6), неперервні і задавольняють нерівності

(2.9)

де - деякі числа. Тоді повна похибка формул (2.2), (2.3) (без урахування похибки округлення) у відповідності з (2.5), (2.6), (2.8), (2.9) не перевищує відповідно величин

(2.10)

(2.11)

Мінімізація по призводить до наступних значень :

(2.12)

при цьому

(2.13)

Якщо при вибраному для будь-якої з формул (2.12), (2.13) значення відрізок не виходить за межі околу точки , в якій виконується відповідна нерівність (2.9), то знайдене є оптимальним і повна похибка числового диференціювання оцінюється відповідною величиною (2.13).