2.2.1 Метод хорд

Нехай - дійсна функція дійсної змінної , а дійсний корінь рівняння (2.24). Припустимо, що в деякому околі точки функція , тобто двічі неперервно диференційовна, а і в цьому околі не змінюють знак. Це означає, що при переході через функція змінює знак і має точку як простий корінь. Нехай – точка околу, що розглядається, в якій .

В (2.26) в якості функції візьмемо функцію

.

Тоді рівняння

, (2.27)

також має корінь .

За початкове наближення приймемо будь-яку достатньо близьку до точку околу, що розглядається, в якій має знак, протилежний знаку , а наступні наближення будуємо звичайним способом

(2.28)

Визначимо умови на і , при яких послідовність (2.28) збігається.

З одного боку, якщо взяти формальну похідну від правої частини (2.27), отримаємо (нагадаємо, що ):

З іншого боку, за формулою Тейлора¹² із залишковим членом у формі Лагранжа

,

де міститься між і . Припускаючи , отримуємо

.

Звідки,

,

оскільки ще по формулі Тейлора

.

При , достатньо близькому до , - мале число, і тому існує такий окіл точки , в якому буде мати місце нерівність

.

Якщо взяте з цього околу, то на основі теореми 2.3 послідовність (2.28) буде збігатись до .

Оскільки

(на основі формули Лагранжа скінченого приросту), то припустивши , будемо мати

,

що дозволяє на кожному кроці по значенням слідкувати за досягнутою точністю.

Геометрично цей метод полягає в тому, що значення є абсцисою точки перетину прямої, що проходить через точки і ( ), з віссю .

Рисунок 2.2

Тому цей метод називають методом хорд (січних).

2.2.2 Метод дотичних (Ньютона)

Другий класичний метод розв’язання рівняння (2.24) отримуємо, якщо припустити в (2.26)

тобто звести пошук кореня рівняння (2.24) до пошуку кореня рівняння

Будемо припускати, що в деякому околі , який містить єдиний корінь рівняння (2.24), функція має неперервні похідні і (тобто ), які не перетворюються в нуль в цьому околі.

В цьому випадку

і . Це означає, що існує такий окіл точки , що якщо початкове наближення взято з цього околу, то послідовність

буде збігатися до .

Початкове наближення треба вибирати так, щоб виконувалась нерівність

Метод Ньютона застосовується не лише для пошуку дійсних коренів рівняння (2.24), але і комплексних коренів, лише треба мати на увазі, що при пошуку комплексного кореня у випадку дійсної функції початкове наближення треба брати комплексним числом, а не дійсним.

У випадку, якщо являється дійсним коренем рівняння (2.24), цей метод має просту геометричну інтерпретацію. Значення є абсцисою точки перетину дотичної і кривої в точці з віссю . Тому метод Ньютона називають методом дотичних. Як видно з рисунків послідовні наближення до дійсного кореня в методі Ньютона збігаються до нього монотонно, наближаючись зі сторони .

Швидкість збіжності методу Ньютона можна оцінити наступним чином.

По формулі Ейлера

Тоді

Звідки,

Якщо , то

що вказує на швидку збіжність методу Ньютона.

Рисунок 2.3