Этот результат получается проектированием предыдущего равенства на ось .

41. Удар точки о неподвижную поверхность. Коэффициент восстановления.

 

Р ассмотрим прямой удар тела массы о неподвижную поверхность (рис. 18.4). Скорость тела до удара , коэффициент восстановления . Определим скорость тела после удара и величину ударного импульса. Из основного уравнения теории удара в проекции на нормаль . При этом , . Тогда Ударный импульс достигает максимального значения в случае абсолютно упругого удара и минимального в случае абсолютно неупругого.

 

Р ассмотрим косой удар тела массы о гладкую (!) неподвижную поверхность (рис. 18.5). Скорость тела до удара и составляет угол с нормалью к поверхности, коэффициент восстановления . Определим скорость тела после удара и величину ударного импульса. Из основного уравнения теории удара в проекциях на нормаль и касательную , . При этом и .

 

Тогда , . Кроме того, , где − угол падения, − угол отражения.

Рассмотрим прямой центральный удар двух тел (шаров) массы , движущихся до удара поступательно со скоростями (рис. 18.6). Коэффициент восстановления . Определим скорости тел после удара и величину ударного импульса. Так как отсутствуют внешние ударные импульсы, для системы двух тел количество движения не изменяется .

Кроме того, . Решая полученную систему уравнений, находим:

, .

 

Для определения ударного импульса запишем теорему об изменении количества движения за время удара для одного из тел в проекции на направление движения . Откуда

.

При абсолютно упругом ударе ударный импульс в два раза больше, чем при абсолютно неупругом.

42. Прямой центральный удар двух тел. Теорема Карно.

Теорема. При неупругом ударе в механической системе потеря кинетической энергии равна кинетической энергии данной системы, если бы она двигалась с потерянными скоростями.

Доказательство. Рассмотрим прямой центральный неупругий удар двух шаров массы и , , − скорости тел до удара, − скорость тел после удара. По следствию из теоремы об изменении количества движения системы

где ось совпадает с направлением движения. То есть .

Кинетическая энергия до удара равна ,

после удара .

Рассмотрим дополнительное соотношение:

.

или .

В случае упругого удара:

.

Р ассмотрим действие ударного импульса на твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси (рис. 18.7). Воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента механической системы в скалярной форме , или . Откуда .При действии ударного импульса на вращающееся тело угловая скорость изменяется на величину, равную отношению момента этого импульса относительно оси вращения к моменту инерции тела относительно той же оси. Для определения импульсов ударных реакций в подшипниках введем подвижную систему координат, проведя плоскость через центр масс (рис. 18.8), а ось − через точку приложения ударного импульса, и воспользуемся теоремами об изменении количества движения и об изменении кинетического момента .

При этом

, ,

, .

 В проекциях на оси координат:

или

,

,

,

,

,

.

Эти шесть уравнений позволяют определить импульсы ударных реакций и угловую скорость после удара.

48