52. Основи кластерного аналізу

Кластер ний аналіз – сукупність методів класифікації об’єктів на однорідні групи на підставі визначення поняття відстані між ними.

Класифікацію об’єктів проводять одночасно за кількома ознаками. Для цього вводять поняття міри сумарної близькості об’єктів на однорідні групи (класи) так, щоб об’єкти одного класу були подібними між собою згідно з деяким критерієм класифікації, а об’єкти різних класів відрізнялися один від одного.

Щоби визначити однорідні групи об’єктів, у кластерному використовують такі підходи:

1. Ймовірнісно-статистичний. Згідно з цим підходом вважають, що сукупність об’єктів, які досліджують, складається з кількох вибірок, кожна з яких є реалізацією нормально розподіленої випадкової величини. При деяких припущеннях, наприклад, стосовно коваріаційних матриць, вибірки сукупності розділяють на групи з деяким критерієм класифікації.

2. структурний. Цей підхід ґрунтується на виділенні однорідних груп об’єктів сукупності, що є рівновіддаленими один від одного з огляду на деяку введену міру близькості чи віддалі між об’єктами.

3. Варіаційний – полягає в послідовному виділенні в усій області визначення кожної ознаки, а також певних зон відповідно до обраних інтервалів. Класи утворюють множини, які обмежені інтервалами за всіма ознаками класифікації.

У кластерному аналізі важливе значення має вибір адекватної міри віддалі між об’єктами класифікації. Приступімо, що сукупність n об’єктів, кожен з яких характеризується m ознаками класифікації, задано матрицею X: де x_ij, – значення j-ї ознаки для і-го об’єкта. Якщо ознаку класифікації об’єктів описують кількісним показником, то можна використовувати такі міри віддалі між і-м та k-м об’єктом: -лінійна віддаль -Евклідова міра: -узагальнена степенева міра (віддаль Мінковського):

-віддаль Махаланобіса: = (X_i – X_k)^TC^-1(X_i – X_k), де X_i, X_k – вектори-стовпці значнь всіх ознак для і-го та k-го об’єктів; С-коваріаційна матриця.

Якщо ж ознаку класифікаційних об’єктів описують якісними показником, то можна використовувати такі міри віддалі між об’єктами: -коефіцієнт Рао: -коефіцієнт Хеммінга: -коефіцієнт Роджеса – Танімото: -коефіцієнт Жаккарда: де - загальна кількість значень ознаки, які для і-го та k-го об’єктів збігаються (нульовових, тобто ознаки немає, і одиничних, тобто ознака є); кількість одиничних значень ознак для і-го об’єкта; - кількість одиничних значень ознак, які для і-го та k-го об’єктів збігаються.