Определенный интеграл

По данной теме сначала изучите § 7—10 (1,2), 11 (1,2) гл. 3,§ 12, 14 (1—3) гл. 4 [3] или § 1—14 гл. 8[7].

Понятие определенного интеграла. Пусть функция определена на отрезке . Допустим для простоты, что функция в указанном промежутке неотрицательна и . Разобьем этот отрезок на n частей точками . На каждом из частичных отрезков возьмем произвольную точку и составим сумму:

,

где . Эта сумма носит название интегральной суммы функции на отрезке .

Геометрически каждое слагаемое интегральной суммы равно площади прямоугольника с основанием и высотой , а вся сумма площади «ступенчатой фигуры», получающейся объединением всех указанных выше прямоугольников.

Очевидно, что при всевозможных разбиениях отрезка на части получим различные интегральные суммы, а следовательно, и различные «ступенчатые фигуры».

Будем увеличивать число точек разбиения так, чтобы длина наибольшего из отрезков стремилась к нулю. Во многих случаях при таком разбиении интегральная сумма будет стремиться к некоторому конечному пределу, не зависящему ни от способа, каким выбираются точки деления , ни от того, как выбираются промежуточные точки .

Этот предел и называется определенным интегралом от функции на отрезке .

Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел, к которому стремиться интегральная сумма при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интеграла. Он обозначает символом и читается «интеграл от a до b от функции по dx» или, короче, «интеграл от a до b от f(x)dx».

По определению,

.

Число a называется нижним предлогом интегрирования, число b – верхним; отрезок – отрезком интегрирования.

Заметим, что всякая непрерывная на отрезке функции f (x) интегрируема на этом отрезке.

Если интегрируемая на отрезке функция f (x) неотрицательна, то определенный интеграл численно равен площади S криволинейной трапеции aABb, ограниченной графиком функции y=f (x), осью абсцисс и прямыми x=a и x=b, т. е. . В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла.

Основные свойства определенного интеграла. Все свойства сформулированы в предположении, что рассматриваемые функции интегрируемы в соответствующих промежутках.

1. Определенный интеграл с одинаковыми предлогами равен нулю:

2. При перестановке предлогов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный:

3. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

5. интеграл от алгебраической суммы функций равен такой же алгебраической сумме интегралов от всех слагаемых: .

Непосредственное вычисление определенного интеграла. Для вычисления определенного интеграла, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл, служит формула Ньютона – Лейбница

,

т. е. определенный интеграл равен разности значений любой первообразной функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Из этой формулы виден порядок вычисления определенного интеграла:

1. найти неопределенный интеграл от данной функции;

2. в полученную первообразную подставить вместо аргумента сначала верхний, затем нижний предел интеграла;

3. из результата подстановки верхнего предела вычесть результат подстановки нижнего предела.

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение. Применив указанное правило, вычислим данный определенный интеграл: .

Пример 2. Вычислить интеграл .

Решение. Воспользуемся определением степени с дробным и отрицательным показателем и вычислим определенный интеграл:

.

Пример 3. Вычислить интеграл .

Решение. Интеграл от разности функций заменим разностью интегралов от каждой функции:

Пример 4. Вычислить интеграл .

Решение. Воспользуемся определением степени с дробным показателем, правилом деления суммы на число и вычислим определенный интеграл от каждого слагаемого отдельно:

Вычисление определенного интеграла методом подстановки. Вычисление определенного интеграла методом подстановки состоит в следующем:

1. часть подынтегральной функции заменить новой переменной;

2. найти новые пределы определенного интеграла;

3. найти дифференциал от обеих частей замены;

4. все подынтегральное выражение выразить через новую переменную (после чего должен получиться табличный интеграл);

5. вычислить полученный определенный интеграл.

Пример 5. Вычислить интеграл .

Решение. Введем подстановку , тогда , а . Определим пределы интегрирования для переменной t. При получаем

Выразив подынтегральное выражение через и перейдя к новым пределам, получим

Пример 6. Вычислить интеграл .

Решение. Произведем подстановку , тогда , . Определим пределы интегрирования для переменной . При получаем получаем

Выразив подынтегральное выражение через перейдя к новым пределам, получим .

Пример 7. Вычислим интеграл .

Решение. Положим пределы интегрирования для переменной .

Выразив подынтегральное выражение через и перейдя к новым пределам получим

.

Пример 8. Вычислим интеграл .

Решение.

.

Пример 9. Вычислить интеграл

Решение. Сначала образуем подынтегральное выражение:

Затем вычислим интеграл от разницы функции заменив его разностью определенных интегралов от каждой функции:

Вычислим каждый интеграл отдельно:

Тогда

Приложение определенного интеграла. Понятие определенного интеграла широко применяется для вычисления различных геометрических и физических величин.

Площади плоских фигур. Площадь криволинейной трапеции , ограниченный графиком непрерывной функции , отрезком оси и отрезками прямых , вычисляется по формуле

(1)

Пример 10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной гиперболой , осью и прямыми .

Решение. Применяя формулу (1), получаем

кв. ед.

Пример 11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой , прямыми и осью абсцисс.

Решение. Применяя формулу (1), получаем 1= ; кв. ед.

Площадь фигуры , ограниченной графиками непрерывных функций и отрезками прямых , вычисляется по формуле

, где . (2)

Пример 12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой и осью

Решение. Найдем пределы интегрирования, т. е. абсциссы точек пересечения графиков функций и (ось Для этого решим систему

Имеем

Теперь найдем искомую площадь по формуле (2):

Пример 13. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение. Найдем пределы интегрирования, т. е. абсциссы точек пересечения графиков функций Для этого решим систему

Имеем

Искомую площадь вычисляем по формуле (2) при :

Пример 14. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами

Решение. Найдем пределы интегрирования, т. е. абсциссы точек пересечения графиков функций Для этого решим систему

Имеем

Искомую площадь вычисляем по формуле (2):

; кв. ед.