Несобственные интегралы первого рода. Признаки сходимости.
Символ
называют несобственным интегралом
первого рода. При этом, если предел (2)
существует, то несобственный интеграл
называется сходящимся. Если предел не
существует или равен ∞, то несобственный
интеграл называют расходящимся.
Аналогично определяют несобственные интегралы первого рода на (-∞, b] и
(-∞, +∞).
,
(3)
Заметим, что в (3) a и b стремятся к бесконечности независимо друг от друга.
Отметим также, что если функция f(x) непрерывна на [a, ∞), то (1) определяет одну из первообразных функций f(x), и при её нахождении можно использовать все методы интегрирования – замену переменных, интегрирование по частям и прочее.
Для
сходимости несобственного интеграла
необходимо и достаточно, чтобы для Vε>0
существовало такое A(ε)>0,
что для всех x’
и x”
больших A(ε)
выполнялось неравенство
<ε. (4).
Док-во.Согласно
критерию Коши функция F(x)
имеет предел при x→+∞
только в том случае, когда для Vε>0
существует A(ε)>0
такое, что для Vx’,
x”>
A(ε)
выполняется неравенство
. (5)
Пусть функция F(x) определяется формулой (1). Тогда (см. рис.)
=
+
=> 
=
.
Отсюда ясно, что условие (5) совпадает с
(4). Теорема доказанна.
Несобственные интегралы второго рода. Признаки сходимости.
Как
уже отмечалось выше для неограниченной
на отрезке [a,
b]
ф-и интеграл Римана смысла не имеет.
Обобщим понятие определенного интеграла
на ф-ю f(x)
неограниченную на полуинтервале [a,
b),
но ограниченную и интегрируемую на
любом отрезке [a,
b-ε],
0<ε<a.
Рассмотрим ф-ю F(ε)=
. (1)
Перейдем в (1) формально к пределу при ε→0
F(ε)=
=
. (2).
Символ = называют несобственным интегралом 2-го рода. При этом, если предел (1) конечный, то несобственный интеграл 2-го рода называют сходящимся. Если предел бесконечный или не сущ., то расходящимся. Точку x=b называют особой.
Аналогично определяются несобственные интегралы 2-го рода, если особой точкой является левый конец отрезка [a, b] или внутренняя точка x=c отрезка [a, b].
=
=
,=
(
+
). (3)
Величины ε1 и ε2 →0 независимо друг от друга.