6.1. Постановка задач оптимального управления и их классификация

Задача синтеза оптимального управления может быть сформулирована как вариационная задача. Полагаем, что эволюция системы в фазовом пространстве задается в нормальной форме

(6.1)

где x(t)=(x(t),…, x_n(t))^Т – n-мерный фазовый вектор, ;

u(t)=(u₁(t),…,u_r(t)) ^Т – r-мерный вектор управления, ;

f(t)=(f₁(x,u,t),…,f_n(x,u,t)) ^Т – заданная вектор функция.

На управление и фазовый вектор могут быть наложены ограничения в виде уравнений связи:

(6.2)

или в виде включений

, (6.3)

где и - допустимые множества для вектора управления и фазового вектора.

Краевые (граничные) условия представляют собой ограничения на фазовый вектор в начальный t₀ и конечный t_f моменты времени. Эти условия могут носить как жесткий характер типа уравнений

(6.4)

так и ограничения типа включений:

(6.5)

где x(t₀) и x(t_f) называются левым и правым концом траектории соответственно.

Критерий оптимальности системы, являющийся числовой оценкой качества управления при достижении цели, задается в виде функционала:

. (6.6)

Задача оптимального управления формулируется следующим образом. При заданных уравнении движения (6.1), ограничениях (6.2) и/или (6.3) и краевых условиях (6.4) и/или (6.5) требуется найти такое программное управление u^*(t) или управление с обратной связью u^*(x^*(t),t) и фазовую траекторию x^*(t), при которых критерий достигает минимального (максимального) значения. Управление u^*(t), u^*( x^*(t),t) и траектория x^*(t) называются оптимальными и зачастую именно пару (u^*(t), x^*(t)) называют решением задачи оптимизации.

По виду ограничений разделяют задачи оптимального управления на:

92