6.1.4. Волны в проводниках

 

В проводниках (например, в металлах) tg 5>> 1. Поэтому в выражениях для α и β можно пренебречь единицей по сравнению с tg 5. В результате получим

6.1.5. Затухание волн

 

Коэффициент ослабления α волны, распространяющейся в проводнике, большая величина. Поэтому амплитуды векторов поля резко уменьшаются вдоль направления распространения: вол­на быстро затухает. Пусть амплитуда напряженности электри­ческого поля в точке с координатой z равна Е_т (z), а амплитуда в точке с координатой z + l равна E_m(z + I). Отношение

 

E_m(z)/E_m(z +l )= ехр(αl)                          (6.30)

показывает, во сколько раз уменьшилась амплитуда волны при прохождении ею расстояния l.

Затухание измеряют в неперах (Нп) и децибелах (дБ). За­тухание в неперах определяют как натуральный логарифм отно­шения (6.30) In [E_m (z)IE_m (z + l)] = αl Затухание в децибелах оп­ределяют как двадцать десятичных логарифмов того же отноше­ния:  Коэффициент α, таким образом, определяет затухание волны при прохождении ею пути в один метр и измеряется в неперах на метр (Нп/м).

Вычислим затухание волны,  распространяющейся в меди, при частоте в  1 Мгц. Коэффициент ослабления    Это означает, например,

что при прохождении волной расстояния в один миллиметр ее амплитуда уменьшается в е^14,8 раз, т.е. примерно в 2,67 миллиона раз. Приведенный пример показывает, что переменное электро­магнитное поле на частотах радиотехнического диапазона практически не проникает в глубь проводника.

 

6.1.6. Глубина проникновения

 

Расстояние ∆°, при прохождении которого электромагнитное поле ослабевает в е раз, называют глубиной проникновения поля в среду. На расстоянии ∆° ослабление составляет 1 Нп, т.е. α∆° = 1 и, следовательно,

Как видно из формулы (6.32), глубина проникновения зависит от частоты: чем больше частота, тем меньше ∆°.

23. Падение нормально поляризованной плоской волны на границу раздела двух сред (преломление, отражение волн, законы Снеллиуса, коэффициенты отражения и прохождения световой волны).

Пусть линейно поляризованная плоская электромагнитная волна падает на плоскую бесконечно протяженную границу раз­дела двух однородных изотропных сред, характеризуемых пара­метрами  соответственно. Введем прямоугольную сис­тему координат х, у, zтак, чтобы плоскость YOZсовпадала с по­верхностью раздела, а плоскость падения - с плоскостью XOZ. Угол φ между направлением распространения волны и нормалью к поверхности раздела будем называть углом падения (рис. 7.2).

В выбранной системе координат направляющие косинусы, оп­ределяющие направление распространения волны,

Отметим, что постоянная Ё_о равна значению комплексной амплитуды у-й составляющей напряженности электрического поля в начале координат (при x = z=0). Соответственно векторная постоянная Ё_о = у₀Ё_оравна значению комплексной амплитуды вектора Е в начале координат.

Из физических соображений очевидно, что падающая волна может частично (или полностью) отразиться от границы раздела (х = 0) и частично (или полностью) пройти во вторую среду. Естественно предположить, что отраженная и преломленная вол­ны будут плоскими.

Если, исходя из этого предположения, удастся найти поле, удовлетворяющее граничным условиям

 

где  - касательные составляющие векторов Ё и Н в первой и во второй средах соответственно, то это поле будет решением рассматриваемой задачи.

 Граничные условия (7.7) должны выполняться на всей плоскости х = 0, т.е. при любых значениях переменных у и z. Так как поле падающей волны (7.6) не зависит от переменной у, то необходимо предположить, что поле отраженной и преломленной волн также не зависит от координаты у. Это означает, что векторы, определяющие направление распространения отраженной и пре­ломленной волн, параллельны плоскости XOZ. Можно также пред­положить, что отраженная и преломленная волны являются нормально поляризованными (рис.7.3). С учетом сделанных пред­положений выражения для векторов поля отраженной волны  могут быть получены из формул (7.6), если в пос­ледних заменить -угол между осью Xи направлением распространения отраженной волны (см. рис.7.2 и 7.3), a  - некоторая, пока неизвестная постоянная, равная значению комплексной амплитуды у-й состав­ляющей напряженности электрического поля отраженной волны. Обычно вместо угла φ' рассматривают угол φ₁=π-φ’, называемый

углом отражения. Так как  При этом

характеристическое сопротивление волны во второй среде, а -некоторая, постоянная, равная значению комплексной амплитуды у-й составляющей напряженности электрического поля прелом­ленной волны. Ориентация векторов Ё_т и Н_т падающей, отра­женной и преломленной волн показана на рис.7.3. Углы φ₁и θ так же, как и постоянные  подлежат определению.

Граничные условия (7.7) должны выполняться при всех значениях координаты г. Это возможно только, в том случае, если зависимость векторов Ё и Н от переменной z во всех трех волнах будет одинаковой. Поэтому необходимо, чтобы

Так как углы φ и φ₁заключены в интервале [0, π/2], то из

равенства (7.10) следует первый закон Снеллиуса φ = φ₁("Угол

падения равен углу отражения"). Из равенства (7.11) вытекает

соотношение   sin θ/sinφ = k₁/k₂,   которое   в   случае   идеальных

однородных изотропных сред выражает второй закон Снеллиуса

("Отношение синуса угла преломления к синусу угла падения равно относительному показателю преломления сред n₁₂"). Дей­ствительно, коэффициент преломления среды п = c₀ /c,  где с₀ =

Для определения постоянных А и В используем граничные условия (7.7). Так как поле в первой среде складывается из полей падающей и отраженной волн, а поле во второй среде совпадает с полем преломленной волны, то формулы (7.7) принимают вид

Подставляя в эти выражения значения соответствующих составляющих комплексных амплитуд напряженности электри­ческого и магнитного полей и учитывая равенства (7.10) и (7.11), приходим к соотношениям

где - коэффициенты отражения и прохождения соответ­ственно. Их также часто называют коэффициентами Френеля

-Падение плоской волны на границу поглощающей среды. Действительный угол преломления.

Падение плоской волны на границу поглощающей оптически более плотной среды.

Пусть плоская волна падает под углом φ на плоскую границу раздела двух сред, из которых первая - идеальный диэлектрик, а вторая обладает проводимостью. Общие формулы, определяю­щие поля падающей, отраженной и преломленной волн, можно использовать и в этом случае, если считать в них параметры k₂и Z_c2 комплексными величинами. Из второго закона Снеллиуса (7.11) следует, что при этом sin 8 становится комплексным, так как k₁и sinφ - действительные числа, а k₂ = k₂комплексная величина.

Это означает, что параметр θ нельзя рассматривать как геометрический угол, под которым распространяется прелом­ленная волна. Введем обозначения

и х = const соответственно. Сле­довательно, волна (7.46) явля­ется неоднородной плоской во­лной. Направление распрост­ранения этой волны образует некоторый угол θ_Д с осью X, который называют истинным (или действительным) углом преломления (рис.7.7). Поверх­ности равных фаз представляют собой параллельные плоскости, нормаль к которым образует с осями X и Zуглы θд и π/2-θд соответственно. Уравнение,

определяющее такие плоскости, может быть также записано в виде х cosθ_Д+ zsinθ_Д = const. Сравнивая это равенство с уравнением (7.47), находим, что

 

Отметим, что в рассматриваемом случае ПРФ повернуты относительно ПРА на угол θ_Д (см. рис.7.7).

Амплитуды векторов Е и Н экспоненциально убывают в направлении нормали к поверхности раздела (вдоль оси X). Имеется продольная по отношению к направлению распростра­нения преломленной волны составляющая вектора Н (в случае нормальной поляризации) или продольная составляющая вектора Е (в случае параллельной поляризации).

Поле в первой среде складывается из падающей и отра­женной волн и не имеет принципиальных отличий от поля, воз­никающего при отражении волны от границы раздела двух ди­электриков.

Аналогичные результаты можно получить, анализируя случай параллельной поляризации.

Практически важным является случай, когда вторая среда оптически намного плотнее первой:

Это означает, что при любом угле падения ср на поверхность хорошо проводящей среды преломленная волна распространяется практически вдоль нормали к поверхности раздела. Поверхности равных фаз и поверхности равных амплитуд при этом практически совпадают, и волну можно считать однородной. Продольная по отношению к направлению распространения составляющая век­тора  Н  (или, в случае параллельной поляризации, вектора  Ё)будет пренебрежимо мала по сравнению с поперечной состав­ляющей. Можно считать, таким образом, что волна является поперечной, причем векторы Е и Н, в ней сдвинуты по фазе друг относительно друга на угол  Иными словами, при анализе плоской волны, возникающей в результате пре­ломления на поверхности хорошо проводящей среды, можно использовать все основные соотношения, полученные в 6.1.4 при исследовании свойств плоской волны, свободно распростра­няющейся в хорошо проводящей безграничной однородной изо­тропной среде.

Подчеркнем, что амплитуды векторов Е и Н преломленной волны в металле быстро убывают с удалением от границы раздела и волна фактически существует лишь в тонком слое вблизи поверхности раздела.