Практическое занятие №6 Определение координат склада в регионе.
Для решения одной из фундаментальных логистических задач — определения месторасположения распределительного склада в регионе — необходимо знать:
месторасположение
(координаты
)
фирм-производителей и потребителей
(клиентов) данной продукции;
объемы поставок
продукции (
);
маршруты доставки (характеристику транспортной сети);
затраты (или тарифы) на транспортные услуги ( ).
В зависимости от выбранного критерия оптимизации и учета расстояний между поставщиками, потребителями и складом рассматриваются следующие типовые случаи.
Первый вариант. Месторасположение распределительного склада определяется в виде координат центра тяжести грузовых потоков по формулам:
|
(6.1) |
|
(6.2) |
где
— координаты распределительного склада,
км;
— объем (вес) груза, т;
— соответственно расстояние от начала осей координат до расположения поставщика или клиента, км.
Второй вариант. Месторасположение склада определяется как «центр равновесной системы транспортных затрат». Расчет координат склада производится по формулам:
|
(6.3) |
|
(6.4) |
где — транспортный тариф для -го поставщика или потребителя (клиента), руб./ткм.
Суммирование в
формулах (8.1)—(8.4) производится от
до
,
где
— общее количество поставщиков и
потребителей.
Очевидно, что при
,
формулы (6.1)-(6.4) совпадают.
С другой стороны, транспортные тарифы в формуле (6.3), (6.4) играют роль весовых коэффициентов, которые могут принимать различные значения и, следовательно, расширяют возможности учета различных факторов по сравнению с формулами (6.1), (6.2). Однако не следует забывать, что тарифы функционально связаны с грузооборотом (ткм) и объемом перевозок (т), поэтому их упрощенный учет в расчетных зависимостях требует дополнительного обоснования либо введения более сложных зависимостей.
Рассмотрим пример
расчета координат склада по первому и
второму вариантам. Исходные данные
о координатах расположения поставщиков
и клиентов
приведены в табл. 6.1; здесь также
представлены вспомогательные расчеты.
Исходные данные |
Координаты склада |
|||||||
По формулам 6.1-6.2 |
По формулам 6.3-6.4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
575 |
0,8 |
300 |
0 |
172500 |
0 |
240 |
138000 |
300 |
500 |
0,5 |
250 |
75000 |
125000 |
375 |
125 |
62500 |
550 |
600 |
0,6 |
150 |
82500 |
90000 |
49500 |
90 |
54000 |
150 |
125 |
1 |
150 |
22500 |
18750 |
22500 |
150 |
18750 |
275 |
300 |
1 |
75 |
20625 |
22500 |
20625 |
75 |
22500 |
400 |
275 |
1 |
125 |
50000 |
34375 |
50000 |
125 |
34375 |
500 |
100 |
1 |
100 |
50000 |
10000 |
50000 |
100 |
10000 |
600 |
550 |
1 |
150 |
90000 |
82500 |
20000 |
150 |
82500 |
|
|
|
1300 |
390625 |
555625 |
320125 |
1055 |
422625 |
При подстановке значений в формулы (6.1), (6.2) находим:
Второй вариант расчета, формулы (6.3), (6.4) дает:
Приведенные на рис. 6.1 местоположения складов показывают, что в данном конкретном случае их координаты различаются незначительно.
Рис. 6.1. Расположение поставщиков П, клиентов К и складов (С1 — первый вариант; С2 — второй вариант)
Третий вариант . Координаты склада определяются исходя из условия, что сумма расстояний от данных точек с учетом спроса до точки ( ) — координат склада — была минимальной. Целевая функция записывается в виде:
|
(6.5) |
где
— координаты
-гo
поставщика или потребителя.
Принципиальное
отличие третьего варианта заключается
в том, что, во-первых, он сформулирован
как классическая оптимизационная
задача, во-вторых, расстояние между
складом и другими объектами определяется
как «гипотенуза», тогда как в задачах
первом и втором вариантах рассматриваются
расстояния по осям
и
.
Для нахождения координат склада используется аналитический метод, согласно которому на первом этапе определяется система из 2 уравнений в виде частных производных функций Р(х, у):
|
(6.6) |
Поскольку решение
данной системы затруднено, на втором
этапе используется итерационный метод.
Так, первое приближение для
рассчитывается подформуле:
|
(6.7) |
Входящее в формулу
определяется из уравнения:
|
(6.8) |
На третьем этапе
значения
подставляются во второе уравнение
системы (6.6) для частной производной по
У и находится первое приближение для
Затем
подставляется
в уравнение для частной производной по
X и находится второе приближение
и
т. д. до тех пор, пока разница итераций
и
не станет меньше достаточно малого
положительного числа Е.
Рассмотрим подход, основанный на непосредственном поиске минимума функции (6.5). Исходные данные для расчетов приведены в табл. 6.1.
Для примера
рассчитаем величину транспортной работы
при перевозках от производителей на
склад и со склада клиентам. Используя
метод направленного перебора, задавшись
размерами полигона 600х600 км (значения
)
и выбрав в качестве координат склада
следующие значения:
км,
км. Тогда по формуле (6.5) для первого
поставщика (
км,
км) находим:
Результаты расчетов
для всех поставщиков и клиентов приведены
в табл. 6.2:
Таблица 6.2 Определение транспортной работы при различных координатах склада
Х=0 км.;У=0 км. |
|
||||
|
Координаты, км. |
|
|
||
|
|
||||
300 |
0 |
575 |
575,0 |
172500,0 |
|
250 |
300 |
500 |
583,1 |
145773,8 |
|
150 |
550 |
600 |
813,9 |
122091,2 |
|
150 |
150 |
125 |
195,3 |
29288,4 |
|
75 |
275 |
300 |
407,0 |
30522,8 |
|
125 |
400 |
275 |
485,4 |
60676,5 |
|
100 |
500 |
100 |
509,9 |
50990,2 |
|
150 |
600 |
550 |
813,9 |
122091,2 |
|
Сумма |
|
|
|
733934,1 |
|
Х=25 км.;У=0 км. |
|
|
|
||
300 |
0 |
575 |
575,5 |
172663,0 |
|
250 |
300 |
500 |
570,6 |
142658,9 |
|
150 |
550 |
600 |
797,3 |
119589,1 |
|
150 |
150 |
125 |
176,8 |
26516,5 |
|
75 |
275 |
300 |
390,5 |
29288,4 |
|
125 |
400 |
275 |
465,0 |
58128,4 |
|
100 |
500 |
100 |
485,4 |
48541,2 |
|
150 |
600 |
550 |
795,7 |
119353,7 |
|
Сумма |
|
|
|
716739,3 |
|
Х=50 км.;У=0 км. |
|
|
|
||
300 |
0 |
575 |
577,2 |
173150,9 |
|
250 |
300 |
500 |
559,0 |
139754,2 |
|
150 |
550 |
600 |
781,0 |
117153,7 |
|
150 |
150 |
125 |
160,1 |
24011,7 |
|
75 |
275 |
300 |
375,0 |
28125,0 |
|
125 |
400 |
275 |
445,1 |
55639,0 |
|
100 |
500 |
100 |
461,0 |
46097,7 |
|
150 |
600 |
550 |
777,8 |
116672,6 |
|
Сумма |
|
|
|
700605,0 |
|
Х=75 км.;У=0 км. |
|
|
|
||
300 |
0 |
575 |
579,9 |
173961,2 |
|
250 |
300 |
500 |
548,3 |
137073,2 |
|
150 |
550 |
600 |
765,3 |
114789,2 |
|
150 |
150 |
125 |
145,8 |
21866,1 |
|
75 |
275 |
300 |
360,6 |
27041,6 |
|
125 |
400 |
275 |
425,7 |
53216,8 |
|
100 |
500 |
100 |
436,6 |
43660,6 |
|
150 |
600 |
550 |
760,3 |
114051,8 |
|
Сумма |
|
|
|
685660,6 |
|
Х=100 км.;У=0 км. |
|
|
|
||
300 |
0 |
575 |
583,6 |
175089,3 |
|
250 |
300 |
500 |
538,5 |
134629,1 |
|
150 |
550 |
600 |
750,0 |
112500,0 |
|
150 |
150 |
125 |
134,6 |
20194,4 |
|
75 |
275 |
300 |
347,3 |
26048,3 |
|
125 |
400 |
275 |
407,0 |
50871,3 |
|
100 |
500 |
100 |
412,3 |
41231,1 |
|
150 |
600 |
550 |
743,3 |
111495,5 |
|
Сумма |
|
|
|
672059,0 |
|
и так далее. |
|||||
………………………………………………………………. |
|||||
Х=550 км.;У=0 км. |
|
|
|
||
300 |
0 |
575 |
795,7 |
238707,5 |
|
250 |
300 |
500 |
559,0 |
139754,2 |
|
150 |
550 |
600 |
600,0 |
90000,0 |
|
150 |
150 |
125 |
419,1 |
62861,5 |
|
75 |
275 |
300 |
407,0 |
30522,8 |
|
125 |
400 |
275 |
313,2 |
39156,1 |
|
100 |
500 |
100 |
111,8 |
11180,3 |
|
150 |
600 |
550 |
552,3 |
82840,2 |
|
Сумма |
|
|
|
695022,6 |
|
Х=575 км.;У=0 км. |
|
|
|
||
300 |
0 |
575 |
813,2 |
243951,8 |
|
250 |
300 |
500 |
570,6 |
142658,9 |
|
150 |
550 |
600 |
600,5 |
90078,1 |
|
150 |
150 |
125 |
443,0 |
66450,2 |
|
75 |
275 |
300 |
424,3 |
31819,8 |
|
125 |
400 |
275 |
326,0 |
40745,0 |
|
100 |
500 |
100 |
125,0 |
12500,0 |
|
150 |
600 |
550 |
550,6 |
82585,2 |
|
Сумма |
|
|
|
710789,0 |
|
Х=600 км.;У=0 км. |
|
|
|
||
300 |
0 |
575 |
831,0 |
249311,6 |
|
250 |
300 |
500 |
583,1 |
145773,8 |
|
150 |
550 |
600 |
602,1 |
90312,0 |
|
150 |
150 |
125 |
467,0 |
70055,8 |
|
75 |
275 |
300 |
442,3 |
33172,1 |
|
125 |
400 |
275 |
340,0 |
42504,6 |
|
100 |
500 |
100 |
141,4 |
14142,1 |
|
150 |
600 |
550 |
550,0 |
82500,0 |
|
|
|
|
|
727772,0 |
|
При этом минимальные объмы транспортной работы были зафиксированы при Х=300 и У=0 км. Зафиксируем параметр Х на рассчитанной величине и продолжим наши исследоа\вания:
Х=300 км.; У=25 км. |
|
||||
|
Координаты, км. |
|
|
||
|
|
||||
300 |
0 |
575 |
626,5 |
187949,5 |
|
250 |
300 |
500 |
475,0 |
118750,0 |
|
150 |
550 |
600 |
627,0 |
94049,5 |
|
150 |
150 |
125 |
180,3 |
27041,6 |
|
75 |
275 |
300 |
276,1 |
20710,1 |
|
125 |
400 |
275 |
269,3 |
33657,3 |
|
100 |
500 |
100 |
213,6 |
21360,0 |
|
150 |
600 |
550 |
604,7 |
90700,4 |
|
Сумма |
|
|
|
594218,4 |
|
Х=300 км.;У=50 км. |
|
|
|
||
300 |
0 |
575 |
604,7 |
181400,8 |
|
250 |
300 |
500 |
450,0 |
112500,0 |
|
150 |
550 |
600 |
604,2 |
90622,8 |
|
150 |
150 |
125 |
167,7 |
25155,8 |
|
75 |
275 |
300 |
251,2 |
18843,5 |
|
125 |
400 |
275 |
246,2 |
30777,7 |
|
100 |
500 |
100 |
206,2 |
20615,5 |
|
150 |
600 |
550 |
583,1 |
87464,3 |
|
Сумма |
|
|
|
567380,4 |
|
Х=300 км.;У=75 км. |
|
|
|
||
300 |
0 |
575 |
583,1 |
174928,6 |
|
250 |
300 |
500 |
425,0 |
106250,0 |
|
150 |
550 |
600 |
581,5 |
87222,8 |
|
150 |
150 |
125 |
158,1 |
23717,1 |
|
75 |
275 |
300 |
226,4 |
16978,8 |
|
125 |
400 |
275 |
223,6 |
27950,8 |
|
100 |
500 |
100 |
201,6 |
20155,6 |
|
150 |
600 |
550 |
561,8 |
84270,8 |
|
Сумма |
|
|
|
541474,5 |
|
и так далее. |
|||||
………………………………………………………………. |
|||||
Х=300 км.;У=450 км. |
|
|
|
||
300 |
0 |
575 |
325,0 |
97500,0 |
|
250 |
300 |
500 |
50,0 |
12500,0 |
|
150 |
550 |
600 |
291,5 |
43732,1 |
|
150 |
150 |
125 |
357,9 |
53691,8 |
|
75 |
275 |
300 |
152,1 |
11405,2 |
|
125 |
400 |
275 |
201,6 |
25194,6 |
|
100 |
500 |
100 |
403,1 |
40311,3 |
|
150 |
600 |
550 |
316,2 |
47434,2 |
|
|
|
|
|
331769,2 |
|
Х=300 км.;У=475 км. |
|
|
|
||
300 |
0 |
575 |
316,2 |
94868,3 |
|
250 |
300 |
500 |
25,0 |
6250,0 |
|
150 |
550 |
600 |
279,5 |
41926,3 |
|
150 |
150 |
125 |
380,8 |
57118,3 |
|
75 |
275 |
300 |
176,8 |
13258,3 |
|
125 |
400 |
275 |
223,6 |
27950,8 |
|
100 |
500 |
100 |
425,0 |
42500,0 |
|
150 |
600 |
550 |
309,2 |
46384,9 |
|
Сумма |
|
|
|
330256,9 |
|
Х=300 км.;У=500 км. |
|
|
|
||
300 |
0 |
575 |
309,2 |
92769,9 |
|
250 |
300 |
500 |
0,0 |
0,0 |
|
150 |
550 |
600 |
269,3 |
40388,7 |
|
150 |
150 |
125 |
403,9 |
60583,1 |
|
75 |
275 |
300 |
201,6 |
15116,7 |
|
125 |
400 |
275 |
246,2 |
30777,7 |
|
100 |
500 |
100 |
447,2 |
44721,4 |
|
150 |
600 |
550 |
304,1 |
45620,7 |
|
Сумма |
|
|
|
329978,2 |
|
Х=300 км.;У=525 км. |
|
|
|
||
300 |
0 |
575 |
304,1 |
91241,4 |
|
250 |
300 |
500 |
25,0 |
6250,0 |
|
150 |
550 |
600 |
261,0 |
39151,1 |
|
150 |
150 |
125 |
427,2 |
64080,0 |
|
75 |
275 |
300 |
226,4 |
16978,8 |
|
125 |
400 |
275 |
269,3 |
33657,3 |
|
100 |
500 |
100 |
469,7 |
46970,7 |
|
150 |
600 |
550 |
301,0 |
45156,0 |
|
Сумма |
|
|
|
343485,5 |
|
и так далее. |
|||||
………………………………………………………………. |
|||||
Х=300 км.;У=600 км. |
|
|
|
||
300 |
0 |
575 |
301,0 |
90312,0 |
|
250 |
300 |
500 |
100,0 |
25000,0 |
|
150 |
550 |
600 |
250,0 |
37500,0 |
|
150 |
150 |
125 |
498,1 |
74718,2 |
|
75 |
275 |
300 |
301,0 |
22578,0 |
|
125 |
400 |
275 |
340,0 |
42504,6 |
|
100 |
500 |
100 |
538,5 |
53851,6 |
|
150 |
600 |
550 |
304,1 |
45620,7 |
|
Сумма |
|
|
|
392085,1 |
|
Таким обазом видим,
что минимальная транспортная работа
достигается при координатах склада
Итогом расчетов является сводная таблица координат склада, полученных по различным вариантам расчета:
Таблица 6.3. Расчет координат регионального склада
Вариант расчета |
Координаты склада, км |
|
Х |
У |
|
Первый способ |
300 |
427 |
Второй способ |
303 |
400 |
Третий способ |
300 |
500 |
Исходные данные
Вариант № |
Координаты клиентов |
|||||||||||||||||
№1 |
№2 |
№3 |
№4 |
№5 |
№6 |
№7 |
№8 |
|||||||||||
X1 |
Y1 |
X2 |
Y2 |
X3 |
Y3 |
X4 |
Y4 |
X5 |
Y5 |
X6 |
Y6 |
X7 |
Y7 |
X8 |
Y8 |
|||
1 |
|
|
400 |
213 |
176 |
355 |
484 |
31 |
150 |
400 |
56 |
105 |
227 |
110 |
184 |
151 |
497 |
281 |
2 |
|
|
379 |
394 |
267 |
445 |
470 |
187 |
141 |
303 |
292 |
295 |
400 |
414 |
213 |
459 |
131 |
92 |
3 |
|
|
40 |
272 |
179 |
23 |
246 |
140 |
498 |
464 |
67 |
248 |
488 |
420 |
74 |
160 |
494 |
372 |
4 |
|
|
395 |
476 |
347 |
128 |
140 |
75 |
169 |
161 |
225 |
147 |
339 |
408 |
40 |
295 |
470 |
23 |
5 |
|
|
408 |
214 |
401 |
117 |
345 |
95 |
6 |
218 |
333 |
360 |
282 |
209 |
303 |
202 |
483 |
302 |
6 |
|
|
373 |
282 |
32 |
197 |
96 |
305 |
154 |
483 |
99 |
305 |
495 |
190 |
372 |
437 |
11 |
142 |
7 |
|
|
111 |
419 |
95 |
328 |
321 |
392 |
400 |
440 |
71 |
233 |
35 |
143 |
250 |
159 |
429 |
172 |
8 |
|
|
378 |
332 |
66 |
478 |
390 |
39 |
181 |
230 |
463 |
486 |
91 |
311 |
296 |
34 |
120 |
236 |
9 |
|
|
175 |
73 |
212 |
323 |
195 |
104 |
371 |
60 |
29 |
431 |
300 |
28 |
47 |
370 |
356 |
172 |
10 |
|
|
383 |
86 |
25 |
150 |
109 |
479 |
240 |
450 |
303 |
348 |
385 |
202 |
355 |
141 |
202 |
344 |
11 |
|
|
329 |
269 |
322 |
250 |
35 |
156 |
239 |
24 |
16 |
261 |
476 |
497 |
109 |
2 |
352 |
415 |
12 |
|
|
413 |
363 |
116 |
15 |
248 |
414 |
361 |
495 |
311 |
228 |
377 |
73 |
172 |
6 |
81 |
259 |
13 |
|
|
209 |
192 |
194 |
172 |
319 |
155 |
71 |
157 |
252 |
392 |
471 |
385 |
227 |
367 |
301 |
410 |
14 |
|
|
23 |
39 |
227 |
412 |
396 |
137 |
54 |
472 |
176 |
458 |
335 |
435 |
218 |
315 |
113 |
342 |
15 |
|
|
223 |
67 |
236 |
102 |
262 |
14 |
199 |
459 |
76 |
193 |
496 |
262 |
202 |
173 |
290 |
372 |
16 |
|
|
281 |
241 |
8 |
35 |
55 |
431 |
185 |
172 |
263 |
292 |
408 |
485 |
262 |
227 |
492 |
198 |
17 |
|
|
8 |
28 |
382 |
453 |
430 |
35 |
154 |
51 |
92 |
88 |
373 |
235 |
419 |
330 |
257 |
376 |
18 |
|
|
410 |
195 |
194 |
262 |
399 |
388 |
271 |
130 |
303 |
250 |
80 |
372 |
219 |
333 |
102 |
111 |
19 |
|
|
360 |
164 |
230 |
148 |
170 |
54 |
318 |
69 |
204 |
14 |
149 |
300 |
472 |
162 |
329 |
491 |
20 |
|
|
135 |
47 |
102 |
453 |
476 |
310 |
35 |
229 |
315 |
49 |
81 |
77 |
299 |
247 |
437 |
22 |
21 |
|
|
249 |
176 |
162 |
279 |
414 |
250 |
58 |
69 |
409 |
2 |
461 |
25 |
231 |
107 |
107 |
133 |
22 |
|
|
267 |
268 |
278 |
430 |
154 |
313 |
81 |
329 |
44 |
132 |
407 |
292 |
316 |
30 |
70 |
306 |
23 |
|
|
17 |
414 |
188 |
85 |
231 |
281 |
40 |
76 |
6 |
146 |
300 |
398 |
148 |
248 |
177 |
287 |
24 |
|
|
397 |
135 |
240 |
267 |
298 |
193 |
225 |
254 |
410 |
79 |
161 |
492 |
124 |
26 |
148 |
112 |
25 |
|
|
419 |
213 |
373 |
326 |
217 |
202 |
369 |
100 |
201 |
414 |
27 |
89 |
61 |
150 |
89 |
360 |
26 |
|
|
227 |
394 |
94 |
375 |
313 |
221 |
261 |
455 |
188 |
354 |
383 |
191 |
63 |
486 |
256 |
304 |
27 |
|
|
43 |
272 |
254 |
15 |
275 |
22 |
47 |
13 |
382 |
33 |
48 |
219 |
442 |
3 |
407 |
438 |
28 |
|
|
307 |
476 |
8 |
236 |
343 |
385 |
244 |
306 |
149 |
381 |
285 |
6 |
14 |
93 |
313 |
378 |
29 |
|
|
483 |
214 |
61 |
471 |
490 |
200 |
384 |
141 |
188 |
419 |
40 |
488 |
233 |
225 |
1 |
231 |
30 |
|
|
23 |
282 |
286 |
48 |
179 |
248 |
41 |
195 |
138 |
54 |
59 |
372 |
199 |
245 |
355 |
238 |
Последняя цифра № зач.кн. |
Транспортный тарив, грн |
Грузопоток |
|||||||
Q1 |
Q2 |
Q3 |
Q4 |
Q5 |
Q6 |
Q7 |
Q8 |
||
0 |
5,21 |
529 |
96 |
210 |
364 |
238 |
614 |
12 |
620 |
1 |
3,43 |
177 |
560 |
2 |
570 |
225 |
985 |
100 |
986 |
2 |
4,85 |
633 |
655 |
508 |
603 |
868 |
299 |
30 |
869 |
3 |
5,01 |
458 |
358 |
216 |
955 |
949 |
843 |
196 |
831 |
4 |
3,68 |
579 |
804 |
661 |
876 |
522 |
998 |
684 |
34 |
5 |
3,12 |
840 |
148 |
267 |
153 |
262 |
22 |
88 |
414 |
6 |
2,97 |
183 |
399 |
227 |
77 |
868 |
895 |
104 |
595 |
7 |
4,11 |
36 |
855 |
821 |
45 |
166 |
550 |
946 |
307 |
8 |
3,84 |
679 |
357 |
745 |
147 |
193 |
42 |
968 |
816 |
9 |
4,06 |
237 |
149 |
523 |
567 |
925 |
390 |
784 |
883 |