Лекция 14. Оптимальный портфель ценных бумаг

План

1. Модель Марковица формирования оптимального фондового портфеля.

2. Нахождение оптимальной структуры фондового портфеля методом множи-

телей Лагранжа.

1. Предположим, что в фондовый портфель отобраны n «перспективных» акти-

_вов.

Согласно рассматриваемой модели главная информация заключена в век-

_{торе-столбце ожидаемых эффективностей m и в матрице ковариаций V :}

_{⎛ m1 ⎞}

_{⎛ V11}

_V12

_...

_{V1n ⎞}

_{⎜ ⎟ ⎜ ⎟}

_{m = ⎜} ^m2 _{⎟ , V}

_{= ⎜}^V21

^V₂₂

...

^{V2 n} _{⎟ .}

^{⎜ ... ⎟}

_{⎜ ⎟}

^{⎜ ... ... ... ... ⎟}

_{⎜ ⎟}

_⎝ ^m_{n ⎠}

_⎝^V_n1

^V_{n 2}

...

^V_{nn ⎠}

^{Обычно придерживаются определённой нумерации. Например, располагают m}_i

в порядке возрастания. Матрица ковариаций симметрична относительно глав-

_{ной диагонали.}

Пусть

^x_i ^{( i = 1, n ) – доля капитала инвестора, вложенная в i -й вид ценных}

бумаг. Следовательно,

_n

^{∑ xi = 1 . (1)}

^{i =1}

Структуру портфеля ценных бумаг удобно записывать вектором-

_{столбцом:}

^{⎛ x1 ⎞}

^{⎜ ⎟}

^{x = ⎜ x2 ⎟ .}

^{⎜ ... ⎟}

^{⎜ ⎟}

^{⎝ xn ⎠}

^{Введём вектор-столбец I , состоящий из единиц. Тогда условие (1) может быть}

_{записано, как}

^{I T x = 1.}

^{Рассмотрим эффективность фондового портфеля}

^R_p ^{, которая является}

случайной величиной. Её числовой характеристикой является ожидаемая эф-

_{фективность}

_{или в матричном виде}

_n

^{mp = ∑ xi mi}

^{i =1}

T

^{mp = x m .}

^{Характеристикой риска является дисперсия эффективности фондового}

портфеля

_{n n}

^D_p ⁼ _∑∑ ^x_i ^x _j^V_ij

или

^{i =1}

^{j =1}

_T

^{Dp = x Vx .}

^{Задача формирования рисковой части оптимального портфеля ставится}

^{следующим образом. При заданной эффективности m}_p

найти такую структуру

x , которая обеспечивала бы минимум функции

^D_p ^{, т.е. минимальный риск}

портфеля. Такая модель была впервые предложена Марковицем в 1951 г. Мо-

дель Марковица записывается в следующем виде:

_{n n}

^D_p ⁼ _∑∑ ^x_i ^x _j^V_ij ^{→ min , (2)}

^{i =1}

_⎧ n

^{j =1}

_⎪∑ ^xi ^mi ^{= m}p

_{⎪ i=1}

₍₃₎

_n

_⎪

_⎨

^{∑ xi = 1}

^{⎩ i=1}

_{Иногда налагают условие не отрицательности:}

^x_i ^{≥ 0}

^{( i = 1, n ). (4)}

_{В матричном виде задача (2)-(4) выглядит следующим образом:}

p

^{D = xT Vx → min , (5)}

p

^{⎧⎪ xT m = m}

_⎨

₍₆₎

^{I T x = 1}

^{x ≥ 0 . (7)}

^{2. Задача (5)-(7) является задачей квадратичного программирования. Задачу (5)-}

(6) можно решить методом множителей Лагранжа, а затем учесть условие (7).

Составим функцию Лагранжа:

1 2 1 2 p

^{L( x, λ , λ ) = xT Vx + λ (I T x − 1) + λ (mT x − m ) .}

^{Это задача на условный экстремум. Согласно необходимому условию экстре-}

_{мума, получим:}

_{= −}

^{∂L( x, λ}₁ ^{, λ}₂ ⁾ _{= 0 ,}

_{2Vx + λ I + λ m = 0 , Vx}

¹ _{λ I −} ¹ _{λ m ,}

₌₋

^{∂x 1 2 2 1 2 2}

_x ¹ _{λ V} ⁻¹ _{I −} ¹ _{λ V} ⁻¹_{m .}

₂ ¹ ₂ ²

Ограничения задачи (6) примут линейный вид относительно

_{⎧λ mT V −1 I + λ mT V −1m = −2m}

^{λ1 ,}

^{λ2 :}

^{⎪ 1 2 p}

_⎨

_{⎪λ I T V −1 I + λ}

_{I T V −1m = −2}

^{⎩ 1 2}

Введя дополнительные обозначения

_def

_def

^{mT V −1 I = I T V −1m = A ,}

_def

^{mT V −1m = B ,}

^{I T V −1 I}

^{= C , получим систему:}

^⎧λ₁ ^{A + λ}₂ ^{B = −2m}_p

^⎨

2

^{⎩λ1C + λ2 A = −2}

_{Решим её методом Крамера:}

_{λ =} ^∆1 ₌

^{1 ∆}

^{−2mp A + 2B} ,

^{A2 − BC}

^∆

^{λ2 =} ∆

= ^{−2 A + 2mp C} .

^{A2 − BC}

Найденные значения множителей Лагранжа подставим в выражение для оптимальной структуры:

_{x* 1}

_{−2mp A + 2B}

_{V −1 I}

_{1 −2 A + 2mp C}

_{V −1m}

_{= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =}

_{2 A}² _{− BC}

_{2 A}² _{− BC}

p

^{= V −1 ⎡⎣(IA − mC )m}

^{+ (− IB + mA)}

⋅ ¹ .

^{A2 − BC}

_{Для решения задачи (5)-(7) составляют расширенную матрицу:}

_{⎛ 2V11}

_2V12

_{... 2V1n}

_{m1 1 ⎞}

_{⎜ ⎟}

_⎜ ^2V21

^2V₂₂

^{... 2V2 n m2 1} _⎟

_{Z = ⎜ ⎟ .}

_⎜ ^2Vn1

^2V_{n 2}

^{... 2V}nn ^mn ¹ _⎟

_{⎜ m1}

_{m2 ... mn}

_{0 0 ⎟}

_{⎜ ⎟}

_⎝ ^{1 1 ... 1 0 0} _⎠

^{Её размерность (n + 2) × (n + 2) .}

^{Оптимальная структура рисковой части фондового портфеля}

_x^* _линей-

^{но зависит от m}_p

и записывается в виде

x^* (m

_p ^{) = am}_p

^{+ b ,}

_{где a и b – матрицы размерности}

_{n × 1 . Для нахождения их компонент находят}

матрицу, обратную матрице Z , т.е.

_{⎛… … … … a1}

_{b1 ⎞}

_{⎜ ⎟}

_⎜^{… … … … a2}

^b2 _⎟

^{⎜… … … … … …⎟}

_Z ⁻¹ _{= ⎜ ⎟}

_⎜^{… … … … a}_n

^b_{n ⎟}

^{⎜… … … … … …⎟}

^{⎜ ⎟}

^{⎝… … … … … …⎠}

^{Запишем функцию оптимального риска фондового портфеля}

_σ ^* _{(m ) =}

_cm ² _{+ dm}

_{+ e ,}

где

^{c = aT Va ,}

^{d = 2aT Vb ,}

p p p p

^{e = bT Vb .}