Матрица эффективности (платежная матрица)

Пj Рi	П1	П2	…	Пn	min eij
	e11	e12		e1n	e(P1,П)min
	e21	e22		e2n	e(P2,П)min
…
	em1	em2		emn	e(Pm,П)min

В каждой строке находим минимальное значение эффективности принятия решения и заносим его в столбец с минимальными значениями e. В итоге получается набор решений с минимальными значениями эффективности принимаемых решений, из которого выбирается уже вариант с наилучшим показателем эффективности.

Данный критерий обеспечивает максимизацию минимального выигрыша или по другому минимизацию максимальных потерь, которые могут произойти при реализации одной из сратегий. Проиллюстрируем данный критерий на примере предприятия «Страус».

Пример.

Предприятие «Страус» планирует выпустить новые виды продукции, при этом возможны решения:

- выпуск продукции А;

- выпуск продукции Б;

- выпуск продукции С;

- выпуск продукции D.

Структура спроса на новую продукции может быть трех типов, отличающихся структурой и величиной продаж конкретной продукции.

Значения эффективности разных вариантов решения представлены в табл. 12.2.

Таблица 12.2

Выбор варианта по критерию Вальда

Варианты решений	Варианты обстановки			Минимальная эффективность	Махmin
	1	2	3
А	27	38	50	27	27 (выбираем вариант А)
В	60	12	35	22
С	36	83	-25	-25
D	85	-20	34	-20

Предприятие «Страус» должно выбрать стратегию А, так как у нее наихудший результат более высок, чем самые плохие результаты других вариантов. В этом случае при любом развитии событий «Страус» может гарантированно получить как минимум 27 усл. ед. выигрыша. Если ситуация сложится благополучно, то максимальный выигрыш «Страуса» составит не более 50 усл. ед. Это оборотная сторона стратегии А – здесь много не проиграешь, зато и много не выиграешь.

Если же «Страус» выберет вариант D, то при самом удачном развитии событий он может выиграть целых 85 усл. ед., а при неблагоприятном исходе он проигрывает 20 ед.

Можно отметить, что данный критерий ориентирует «Страус» на очень осторожную линию поведения, так как он сознательно отказывается от возможности большого выигрыша ради получения минимально гарантрованного результата.

Критерий оптимиста.

При использовании данного критерия субъект решения предполагает, что внешняя среда является наиболее благоприятной, поэтому оптимальным решением является вариант, приводящий к получению наибольшего значения выигрыша в матрице эффективности. Проще говоря, из всех лучших результатов отдельных вариантов выбирается самый лучший. В соответствии с этим критерием предприятие «Страус» могло бы выбрать совершенно иной вариант, представленный в табл. 12.3.

Таблица 12.3

Выбор варианта по критерию оптимиста

Варианты решений	Варианты обстановки			Максимальнаяэффективность	Махmax
	1	2	3
А	27	38	50	50	85 (выбираем вариант D)
В	60	12	35	60
С	36	83	-25	83
D	85	-20	34	85

Как видим, в случае применения критерия оптимиста выбор «Страуса» совершенно иной. Он выбирает вариант D, который сулит ему наибольшую прибыль при наиболее благоприятном развитии событий, но в то же время может обернуться большим проигрышем. В этом и заключается жизненная позиция оптимиста – в любых обстоятельствах рассчитывать на наиболее благоприятный вариант.

Критерий пессимиста.

Применение данного критерия предполагает, что у фирмы «Страус» есть основания прогнозировать наиболее неблагоприятные условяи внешней среды, поэтому она хочет оценить, каковы будут результаты ее деятельности в самых тяжелых условиях и сможет ли она выдержать их. С учетом данной посылки результатом выбора является вариант, обладающий наихудшим значением эффективности среди самых плохих результатов всех альтернатив. Процедура применения критерия пессимиста представлена в табл. 12.4.

Таблица 12.4

Выбор варианта по критерию пессимиста

Варианты решений	Варианты обстановки			Минимальная эффективность	Махmax
	1	2	3
А	27	38	50	27	-25 (выбираем вариант С)
В	60	12	35	12
С	36	83	-25	-25
D	85	-20	34	-20

Как видно из таблицы 12.4, фирма «Страус» должна избрать вариант С, в рамках которого возможен наибольший проигрыш в размере – 25 усл. ед. Однако надо отметить, что в случае наступления благоприятных условий данный вариант может принести 83 усл. ед., что является очень хорошим вариантом. То есть можно сказать, что пессимист изначально не обрекает себя на неудачу, он лишь оценивает свои возможные потери в случае провала.

Критерий минимаксного риска (Критерий Сэвиджа).

В случае использования данного критерия предполагается, что многие факторы оказываются на самом деле более благоприятными, чем на это изначально рассчитывал субъект решения. В этих случаях полезный результат может сильно отличаться от результата, получаемого при использовании критерия Вальда или критерия пессимиста. Здесь находит свое применение критерий Сэвиджа.

В данном случае решение принимается не на основе матрицы эффективности, а на основе матрицы рисков. Риск в данном случае – это разница между выигрышем, который получит предприятие, если оно знает состояние среды, и выигрышем предприятия при условии, что оно не знает состояния среды. Естественно, предприятие выбирает вариант, при котором его выигрыш максимален. Величина риска отражает плату за отсутствие информации о состоянии среды.

Сам выбор аналогичен процедуре критерия Вальда (выбираем наилучший среди худших). Матрица рисков строится на основе значений рисков отдельных вариантов, рассчитанных следующим образом:

, где .

Определим максимальные значения эффективности для каждого столбца матрицы эффективности (табл. 12.5).

Таблица 12.5

Матрица эффективности

Варианты решений	Варианты обстановки
	1	2	3
А	27	38	50
В	60	12	35
С	36	83	-25
D	85	-20	34
Мах эффективность по столбцам	85	83	50

Тогда матрица рисков для исходной матрицы эффективности и соответственно процедура выбора будет выглядеть следующим образом (табл. 12.6):

Таблица 12.6

Выбор варианта по критерию Сэвиджа

Варианты решений	Варианты обстановки			Максимальный риск	Минимаксный риск
	1	2	3
А	58 (85-27)	45 (83-38)	0 (50-50)	58	58 (выбираем вариант А)
В	25	71	15	71
С	49	0	75	75
D	0	103	16	103
Мах эффективность	85	83	50	Выбираем минимальное значение риска среди наибольших рисков вариантов А,В,С,D.

Как видно из табл. 12.6, фирма «Страус» выберет вариант А, так как он обладает минимальным риском при условии самого рискованного развития событий. Характерной чертой данного варианта является то, что выигрыш фирмы может составить 50 усл. ед., в то время как минимальное значение результата составляет 27 усл. ед.

Очевидно, что критерий Сэвиджа подходит для инвесторов, не склонных к повышенному риску и в тоже время не любящих перестраховываться.

Критерий обобщенного максимина (Критерий Гурвица)

Критерий Гурвица позволяет находить золотую середину между солнечным настроением оптимиста и печалью пессимиста. В этом случае компромиссным вариантом для каждого решения является комбинация минимального и максимального результата.

E = k*min E + (1-k) * max E

Предпочтение отдается варианту решения, для которого усредненный показатель E окажется наибольшим.

Если коэффициент k = 0, то критерий Гурвица совпадает с критерием оптимиста, если же k = 1, то критерий Гурвица совпадает с критерием пессимиста. Чем меньше k, тем выше склонность инвестора к риску, и наоборот. Значения k между 0 и 1 являются промежуточными между риском и осторожностью и выбираются в зависимости от конкретной ситуации и склонности к риску субъекта решения. Проведем выбор наиболее привлекательной стратегии для фирмы «Страус» при коэффициенте k = 0,6 (табл. 12.7).

Таблица 12.7

Выбор варианта по критерию Гурвица

Виды решений	Варианты обстановки			Усредненное значение E	Макс. значение среди средних
	1	2	3
А	27	38	50	36,2 (0,6*27+0,4*50)	36,2 (выбираем вариант А)
В	60	12	35	31,2
С	36	83	-25	18,2
D	85	-20	34	22
Мах эффективность	85	83	5 0

Как видно из табл. 12.7, при использовании критерия Гурвица фирма «Страус» отдала предпочтение варианту А, что также подтверждает наше предположение о том, что данный вариант является очень сбалансированным и соответствует предпочтениям рационального инвестора, считающего, что «лучше синица в руке, чем раненый журавль в небе».

Так как коэффициент k может принимать различные значения, посмотрим, как будет меняться предпочтение фирмы «Страус» в зависимости от изменения значения коэффициента k (табл.12.7).

Таблица 12.7

Зависимость выбора при различных коэффициентах оптимизма

Варианты решений	Значение коэффициента k
	0	0.2	0.4	0.6	0.8	1
А	50	45,4	40,8	36,2	31,6	27
В	60	50,4	40,8	31,2	21,6	12
С	83	61,4	39,8	18,2	-3,4	-25
D	85	64	43	22	1	-20
Критерий Гурвица	85	64	43	36,2	31,6	27
Выбранный вариант	D	D	D	А	А	А

Как видно, фирма «Страус» может отдать предпочтение либо варианту А, либо варианту D, причем выбор варианта зависит от склонности фирмы к риску. Уточненный расчет показывает, что если k = 0.43, то предпочтение следует отдать варианту А. Можно считать, что вариант А более привлекателен при большем количестве значений k, поэтому окончательный выбор будет сделан в его пользу.

Учитывая, что все критерии принятия решений являются равноправными, можно обобщить результаты их использования (табл. 12.8).

Таблица 12.8

Свод результатов применения критериев принятия решений

Критерий выбора	Варианты решения
	А	В	С	D
Критерий Вальда	1 место	2 место	4 место	3 место
Критерий оптимиста	4	3	2	1
Критерий пессимиста	4	3	1	2
Критерий Сэвиджа	1	2	3	4
Критерий Гурвица	1	2	4	3

Итак, видно, что вариант А занимает первое место при использовании 3 критериев из пяти (пользуясь терминологией бокса или фигурного катания, можно сказать, что 3 судьи из пяти отдали предпочтение Кинг-Конгу в боях с Микки-Маусом). Поэтому окончательный выбор рационального инвестора будет связан с вариантом А.

Обобщая результаты рассмотренных примеров, представим обобщенную характеристику критериев и их содержание в табл. 12.9.

Таблица 12.9

Характеристика принятия решений в условиях полной неопределенности

№ п/п	Наименование критерия	Варианты решения, участвующие в отборе	Выбор окончательного решения	Целевая установка
1	Критерий максимина (критерий Вальда)	Самые плохие результаты каждой альтернативы		Обеспечение минимального результата
2	Критерий оптимиста критерий максимакса)	Самые лучшие результаты каждой стратегии		Ориентация на самый лучший результат
3	Критерий пессимиста (критерий минимина)	Самые плохие результаты каждой альтернативы		Оценка возможности выдержать провал
4	Критерий минимаксного риска (критерий Сэвиджа)	Самые плохие результаты каждой альтернативы среди матрицы рисков		Обеспечение минимального риска
5	Критерий обобщенного максимина (критерий Гурвица)	Усредненное значение междуоптимистичным и пессимистичным вариантами	, где 0<=k<=1	Обеспечение баланса между оптимистичным и пессимистичным вариантами

Как видим, представленный методический инструментарий достаточно широк и многообразен, однако хотелось бы предостеречь читателя от слепой веры в то, что применение данных критерий позволит ему однозначно избежать ошибок в рискованных ситуациях. Во-первых, данные критерии применимы только в ситуации полной неопределенности, когда не известна вероятность наступления того или иного состояния среды. Во-вторых, существует также большое количество других критериев и методов принятия решений, например, оптимальность по Парето, линейное программирование, которые мы не приводим здесь ввиду ограниченности места.

Поэтому настоящий исследователь и специалист должен понимать, что панацеи в рисковых ситуациях нет и каждый случай требует своего индивидуального подхода.