8.3. Дифференциальные уравнения движения свободного твердого тела

Движение свободного твердого тела под действием внешних сил (рис. 3.48) можно рассматривать как совокупность двух его движений: поступательного вместе с центром масс и сферического вокруг центра масс.

Рис. 3.48

Дифференциальные уравнения поступательного движения тела вместе с центром масс получаются на основе теоремы о движе­нии центра масс системы:

, (а)

где т - масса тела; х_с, у_с, z_c - координаты центра масс тела; X^E, У^E, Z^E — проекции главного вектора внешних сил, приложенных к телу, на неподвижные координатные оси х, у, z.

Сферическое движение твердого тела вокруг центра масс представляет собой движение тела относительно системы осей Cx₁y₁z₁.

Это движение определяется динамическими уравнениями Эйлера:

(б)

где J_ξ, J_η, J_ζ - моменты инерции тела относительно главных централь­ных осей инерции ξ,η,ζ; ω_ξ,ω_η,ω_ζ - проекции вектора угловой скорости тела на оси ξ,η,ζ, неизменно связанные с телом; — главные моменты внешних сил, приложенных к телу относительно осей ξ,η,ζ.

8.4. Элементарная теория гироскопа

Гироскопом называется симметричное твердое тело, быстро вращающееся вокруг оси материальной симметрии, одна из точек которой неподвижна, с угловой скоростью, значительно превышающей скорость вращения самой оси симметрии.

Рассмотрим гироскоп с тремя степенями свободы, дви­жение которого ограничено только наличием одной неподвижной точки. Установлено, что гироскопические явления наблюдаются при быстром вращении твер­дых тел, сопровождающемся изменением направления оси вращения.

Рассмотрим сначала случай, когда гироскоп движется около не подвижной точки. Если выбрать начало координат в этой точке О и направить ось z по оси симметрии гироскопа, то оси х, у, z оказываются главными осями инерции гироскопа в неподвижной точке (рис. 3.49).

Рис. 3.49

Момент инерции является полярным моментом инерции гироскопа, а и — экваториальными моментами инерции. В связи с наличием в твердом теле оси симметрии имеем .

Рис. 3.50

Пусть гироскоп вращается с угловой скоростью вокруг оси симметрии, которая в свою очередь вращается вокруг неподвижной точки (рис. 3.50) с угловой скоростью . В соответствии с теоремой о сложении вращений твердого тела вокруг пересекающихся осей, абсолютная угловая скорость тела равна векторной сумме угловых скоростей переносного и относительного вращений:

.

Если гироскоп вращается с большой относительной угловой скоростью , а ось симметрии гироскопа z медленно изменяет свое положение в пространстве (т.е. ), то, пренебрегая движением оси, можно считать, что абсолютная угловая скорость направлена по оси симметрии гироскопа и главный момент количеств движения гироскопа относительно неподвижной точки О направлен по его оси симметрии, причем |. На этом допущении основана приближенная (элементарная) теория гироскопов.

Рассмотрим теперь случай, когда все точки оси симметрии гироскопа находятся в движении. Разложим абсолютное дви­жение гироскопа на переносное поступательное движение вместе с центром инерции и на относительное вращательное по отношению к центру инерции. В этом случае глав­ный момент количеств движений гироскопа относительно его центра инерции приближенно также направлен по оси симметрии и равен по модулю .

Рис. 3.51

При решении задач с помощью приближенной теории гироскопов удобно пользоваться теоремой об изменении главного момента коли­честв движения системы материальных точек в ее кинематической интерпретации — теоремой Резаля (рис. 3.51): скорость конца главного момента количеств движения системы материальных точек , определенного относительно неподвижной точки, векторно равна главному моменту внешних сил системы относительно той же точки

,

(скорость конца направлена по касательной к годографу в соот­ветствующей точке).

Основное свойство гироскопа с тре­мя степенями свободы в случае, когда главный момент внешних сил относительно неподвижной точки равен нулю, заключается в сохранении неизменного направления оси гироскопа по отношению к инерциальным осям.

Быстро вращающийся неуравновешенный гироскоп с тремя сте­пенями свободы обладает тем свойством, что при действии на его ось силы эта ось перемещается в направлении, перпендикулярном к направлению приложенной силы (наложение связей, уменьшающих число степеней свободы, лишает гироскоп указанного свойства), и со­вершает так называемые «прецессионные движения».

Свойства гироскопа:

- ось быстро вращающегося уравновешенного с тремя степенями свободы гироскопа устойчиво сохраняет свое направление в инерциальной системе отсчета. Удары или толчки могут вызывать вибрацию оси гироскопа, но не отклонение от первоначального положения;

- при действии силы (пары сил) на ось быстро вращающегося гироскопа она отклоняется от первоначального положения и начинает вращаться вокруг оси прецессии в направлении перпендикулярном этой силе с постоянной угловой скоростью.

Гироскоп с двумя степенями свободы не обладает способностью противодействовать изменению направления его оси вращения.