13.4. Последовательность решения задач на составление уравнений Лагранжа

Последовательность составления уравнений Лагранжа:

1) определить число степеней свободы материальной системы;

2) выбрать систему координат и ввести независимые обобщенные координаты в числе, равном числу степеней свободы;

3) определить обобщенные силы системы , соответствующие избранным обобщенным координатам;

4) вычислить кинетическую энергию Т рассматриваемой системы материальных точек;

5) найти частные производные от кинетической энергии по обобщенным скоростям , т.е.  , а затем вычислить производные от них по времени

;

6) определить частные производные от кинетической энергии Т по обобщенным координатам: , т.е.

;

7) полученные в пунктах 3,5 и 6 результаты подставить в уравнения Лагранжа.

Задача 3.26. Масса тележки 1 имеет , а масса находящегося на ней сплошного цилиндрического катка 2 равна . Определить, с каким ускорением будет двигаться тележка вдоль горизонтальной плоскости под действием приложенной к ней силы (рис. 3.88), если каток при этом катится по тележке без скольжения. Массой колес тележки пренебречь.

Рис. 3.88

Решение. Система имеет две степени свободы (независимы перемещение катка относительно тележки и перемещение самой тележки). В качестве обобщенных координат выберем координату х тележки и координату s центра масс катка относительно тележки. Тогда уравнения Лагранжа для системы будут:

. (а)

Кинетическая энергия тележки

и катка

,

где - абсолютная скорость центра С катка и численно . Так как для сплошного цилиндра

,

а при качении без скольжения

,

где s – относительная скорость центра С по отношению к тележке (считать здесь было бы ошибкой), то окончательно получим

. (б)

Тогда

. (в)

Для определения обобщенных сил дадим сначала системе возможное перемещение, при котором координата х получает приращение δх>0. На этом перемещении

.

На перемещении же, при котором s получает приращение δs, очевидно, . Следовательно,

.

Подставляя эти значения и и значения производных, определяемые формулами (в), в равенстве (а), найдем следующие дифференциальные уравнения движения системы:

. (г)

Из последнего уравнения , тогда первое уравнение дает окончательно для ускорения а₁ тележки значение

.

Если каток был бы на тележке закреплен неподвижно, то ее ускорение, очевидно, равнялось бы .

Отметим еще один результат. Допустим, что трения катка о тележку нет. Тогда он по тележке будет скользить, двигаясь поступательно, и

.

Легко видеть, что первое из уравнений (г) при этом не изменится, а второе, так как теперь

примет вид и дает . В результате из первого уравнения системы (г) находим для ускорения тележки значение

.

Объясняется такой результат тем, что при отсутствии трения тележка не увлекает с собой катка и движется так, как если бы катка на ней вообще не было.