3.7. Норма линейного преобразования
Линейное
преобразование
называется ограниченным
сверху, если
можно подобрать такое число
,
что для каждого нормированного вектора
из пространства Rn
выполняется неравенство
□ Теорема 3.12. Каждое линейное преобразование пространства ограничено сверху.
Доказательство.
Пусть
− произвольный нормирован-ный вектор
из пространства Rn.
Тогда квадрат длины этого вектора
.
Отсюда вытекает
1,…,
1
+ … +
.
Теперь полагаем
,
где
,
и докажем, что
Действительно,
■
Из доказанной теоремы следует, что множество
ограничено сверху.
Следовательно, это множество имеет
точную верхнюю грань, обозначаемую
символом
.
Будем называть ее нормой линейного
преобразования
,
а также называть нормой матрицы
.
Итак,
= Sup{ }
на множестве нормированных векторов пространства Rn.
□ Лемма. Для каждого вектора из пространства Rn справедливо неравенство
Доказательство.
Если вектор
=
,
то вектор
.
Отсюда
и
,
значит утверждение теоремы справедливо.
Если же вектор
,
то отсюда и из определения нормы линейного
преобразования следует
■
□ Теорема 3.13. Линейное преобразование обратимо тогда и только тогда, когда
{
}
на множестве нормированных векторов пространства Rn.
Необходимость.
Сначала установим, что норма каждой
обратимой матрицы больше нуля.
Действительно, если длина вектора
равна единице, т. е.
= 1, то
и из обратимости матрицы
следует
и, значит,
Теперь, из определения нормы линейного
преобразования имеем
или
По условию матрица
обратима, а поэтому обратима матрица
.
Из доказанного выше утверждения следует
> 0. Наконец, если
– произвольный вектор длины единицы,
то, используя лемму, имеем
Отсюда
{
}
Достаточность.
Дано
{
}
.
Для доказательства обратимости
преобразования
достаточно установить, что
=
(теорема 3.6). Предположим противное, т.
е. пусть
.
Это означает, что в подпространстве
найдется ненулевой вектор
и
.
Теперь рассмотрим следующую цепочку
равенств:
,
=
=
=
.
Итак, нашелся такой нормированный вектор , что = 0. Отсюда вытекает, что
{ } = 0 (13)
на множестве нормированных векторов ε пространства Rn. Равенство (13) противоречит условию достаточности теоремы. ■
Задачи
1. Доказать, что
на множестве нормированных векторов
пространства Rn.
2. Найти норму
линейного преобразования
.
3. Доказать, что
норма линейного преобразования
равна наибольшему из чисел
,
,…,
,
где
.
4. Доказать, что норма ненулевой матрицы больше нуля.
5. Доказать, что для любых квадратных матриц и справедливы неравенства:
а)
;
б)
.
3.8. Ортогональные преобразования
и ортогональные матрицы
Ортогональные преобразования
Линейное
преобразование
называется ортогональным,
если для каждой пары векторов
из пространства Rn
выполняется равенство
Следующая теорема иногда облегчает доказательство ортогональности линейного преобразования.
□ Теорема 3.14. Линейное преобразование будет ортогональным тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:
1)
,
т. е.
преобразование
не изменяет длины векторов;
2)
,
т. е.
преобразование
не изменяет углы между векторами.
Необходимость вытекает из следующих равенств:
Достаточность. Ортогональность преобразования следует из следующей цепочки равенств:
.
■
В следующей теореме, характеризующей ортогональные преобразования, содержится, в частности, критерий, которому должны удовлетворять матрицы ортогональных преобразований.
□ Теорема 3.15. Рассмотрим линейное преобразование . Тогда следующие условия равносильны:
1) линейное преобразование ортогонально;
2) линейное
преобразование
переводит ортонормированный базис
пространств Rn
в ортонормированный базис, т. е. если
,…,
– ортонормированный базис, то
– ортонормированный базис пространства
Rn;
3) столбцы матрицы образуют ортонормированную систему векторов.
Доказательство
1) 2). Пусть ,…, − ортонормированный базис Rn, т. е.
= 0, если
,
= 1,
Так как из условия
1) теоремы следует, что
для каждой пары векторов
,
из пространства
Rn,
то
если
,
Отсюда вытекает, что является ортонормированной системой векторов и, значит, она линейно независимая. Так как эта система содержит n векторов, то из теоремы 1.5 следует, что базис Rn.
2)
3).
Рассмотрим диагональную систему векторов
,
которая является ортонормированным
базисом Rn.
Из условия 2) теоремы получаем, что
ортонормированный базис
Rn.
Так как из определения матрицы линейного
преобразования следует
,
то
– ортонормированная система векторов.
3)
1).
Пусть
и
–
произвольная пара векторов пространства
Rn.
Тогда
,
(14)
,
.
По условию 3) теоремы, система векторов является ортонормированной. Теперь из свойства 3 [1. §7] ортогональных систем векторов получаем, что
.
(15)
Из сопоставления соотношений (14) и (15) вытекает равенство
,
т. е. ортогональность
линейного преобразования
■