Примеры решения задач

6.1. Цена деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02 А.

Решение: Ошибку округления отсчета можно рассматривать как случайную величину Х, которая распределена равномерно в интервале между двумя соседними целыми делениями. Плотность равномерного распределения f(x)=1/(b—а), где (b—а)—длина ин­тервала, в котором заключены возможные значения Х; вне этого интервала f(x)=0. В рассматриваемой задаче длина интервала, в котором заключены возможные значения X, равна 0,1, поэтому f(x)=1/0,1=10. Ошибка отсчета превысит 0,02, если она будет заключена в интервале (0,02, 0,08).

По формуле Р (а < Х <b)= получим

Р (0,02 < Х < 0,08)= 0,6.

6.2. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины Х соответственно равны 10 и 2. Найти вероят­ность того, что в результате испытания Х примет значе­ние, заключенное в интервале (12, 14).

Решение: Воспользуемся формулой (6.10б)

.

Подставив , , а =10 и =2, получим

Р (12 < Х < 14)= Ф(2)—Ф(1).

По таблице приложения 2 находим: Ф(2)=0,4772, Ф(1)=0,3413. Искомая вероятность Р (12 < Х < 14)=0,1359.

6.3. Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным, если отклонение Х диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая, что случайная величина Х распределена нормально со средним квадратическим отклонением =0,4 мм, найти, сколько в среднем будет годных шариков среди ста из­готовленных.

Решение: Так как Х—отклонение (диаметра шарика от про­ектного размера), то М(Х)=а=0.

Воспользуемся формулой (6.11б) . Подставив , получим

.

Таким образом, вероятность отклонения, меньшего 0,7 мм, равна 0,92. Отсюда следует, что примерно 92 шарика из 100 окажутся годными.

6.4. Непрерывная случайная величина Х распреде­лена по показательному закону, заданному плотностью вероятности f(x) при ; при x<0 функцией f(x)=0. Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадает в интервал (0,13, 0,7).

Решение: Используем формулу (6.6)

Учитывая, что, по условию, , , получим

Р(0,13 < Х < 0,7)= =0,677—0,122=0,555.