3. Динамическое программирование.

1. Компанія планує визначити політику заміни наявного в цей час дворічного механізму протягом наступних 4-х років , тобто аж до початку п'ятого року. Наведена таблиця містить необхідні для задачі дані. Компанія вимагає заміни механізму, що перебуває в експлуатації 6 років. Вартість нового механізму дорівнює 100 000 гривень.

Визначити оптимальну стратегію заміни обладнання, при якій загальний прибуток буде максимальним.

2.

Розв'язати задачу 1, якщо на початку першого року є механізм, що перебуває в експлуатації 1 рік.

3.

Розв'язати задачу 1, якщо на початку першого року куплено новий механізм.

4.

Студент технікуму займається власним бізнесом – косить газони десяти клієнтам. Кожному клієнтові він косить траву три рази в рік, одержуючи за один скошений газон 50 гривень. Він купив косарку за 200 гривень. Протягом першого року витрати на утримання й використання косарки дорівнюють 120 гривень, і через рік вони збільшуються на 20%. Однорічна косарка може бути продана за 150 гривень, і з кожним роком її вартість зменшується на 10%. Студент планує продовжити свій бізнес ще на три роки й вважає, що більш вигідно міняти косарку через кожні два роки. Чи справедливо його рішення?

5.

На майбутні шість років компанія планує використовувати устаткування певної марки. У цей час компанія має нове обладнання. На початку кожного року компанія може або залишити колишнє встаткування, або продати його й придбати нове. Устаткування не може експлуатуватися більше трьох років. Нове обладнання коштує 5 000 грн. Дохід від його експлуатації, витрати на утримання протягом року й залишкова вартість під кінець року задані в таблиці.

Показники

Вік машини на початку року

0

1

2

Дохід , грн.

4 500

3 000

1 500

Витрати на обслуговування грн.

500

750

1 000

Залишкова вартість грн.

3 000

2 000

500

6.

Розв'язати задачу 5 припускаючи, що вартість нового обладнання зростає на 10% щорічно.

7.

Група сільгосппідприємств володіє трактором дворічної давнини й планує розробити стратегію його заміни на наступні п'ять років. Трактор повинен експлуатуватися не менш двох і не більше п'яти років. У цей час новий трактор коштує 100 000 гривень, і ця ціна за рік збільшується на 10%. Поточна річна вартість експлуатації трактора коштує 2 500 гривень, і буде збільшуватися за рік на 10%. Визначите оптимальну стратегію заміни трактора.

8.

У цей час підприємство експлуатує устаткування вже два роки. Устаткування може використовуватися не більше років. Ціна нової одиниці устаткування 100 000 гривень. Вартість продажу після років експлуатації дорівнює , якщо і нулю – у протилежному випадку. Річний прибуток від експлуатації є функцією віку устаткування й дорівнює , при й нулю в протилежному випадку. Визначите оптимальну стратегію заміни устаткування.

9.

Розв'язати задачу 8 припускаючи, що вік устаткування становить один рік, , , , .

10.

Розв'язати задачу 8 припускаючи, що вік устаткування становить три роки, , , , .

11.

У цей час компанія володіє устаткуванням дворічної давнини, що було куплено два роки тому за ціною 10000 гривень. Компанія планує не змінювати профіль своєї діяльності ще протягом п'яти років. Відомо, що вартість продажу устаткування після років експлуатації , вартість утримування устаткування віку , річний прибуток від експлуатації дорівнює при й нулю в протилежному випадку. Вартість нового обладнання зростає на 15% щорічно. Менеджер компанії вважає, що устаткування через два роки варто поміняти. Чи має він рацію?

12.

Знайти оптимальний розподіл коштів між підприємствами за умови, що прибуток , отриманий від кожного підприємства, є функцією від вкладених у нього коштів . Вкладення кратні , а функції задані таблично. Число підприємств .

, , .

13.

Розв'язати задачу 12, використовуючи наступні дані:

14.

В умові задачі 12 знайти оптимальний розподіл коштів , , .

15.

В умові задачі 12 знайти оптимальний розподіл коштів між чотирма підприємствами, якщо функція прибутку для четвертого підприємства задана таблицею.

16.

В умові задачі 13 знайти оптимальний розподіл коштів між 2-м, 3-м і 4-м підприємствами ( 1-е підприємство виключити).

17.

Знайти оптимальні строки заміни устаткування. Дано: первісна вартість устаткування , ліквідна вартість устаткування на момент часу , – щорічні експлуатаційні витрати на обслуговування устаткування віку , – строк експлуатації після закінчення якого устаткування обов'язково продається. Критерій оптимальності – сумарні витрати на експлуатацію устаткування протягом років з урахуванням первісної покупки й наступного продажу. Вихідні дані наступні: , , , .

18.

Розв'язати задачу 17, якщо . Вартість нового обладнання залежить від року покупки ; ; ; .

19.

Розв'язати задачу 17 при наступних даних: , , і задані таблично

Характеристика

устаткування

Час , протягом якого

використовується устаткування, роки

0

1

2

3

4

5

Річний обсяг виготовленої продукції, тис. грн.

30

30

24

21

19

16

Річні видатки на утримання й ремонт устаткування , тис. грн.

11

12

12

13

13

13

21.

Розв’язати завдання 20, використовуючи наступні дані.

Характеристика

устаткування

Час , протягом якого

використовується устаткування, роки

0

1

2

3

4

5

6

Річний обсяг виготовленої продукції, тис. грн.

24

24

22

21

20

20

19

Річні видатки на утримання й ремонт устаткування , тис. грн.

15

15

16

16

17

18

18

тис. грн.

22.

Розв'язати задачу 20, використовуючи наступні дані.

Характеристика

устаткування

Час , протягом якого

використовується устаткування, роки

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Річний обсяг виготовленої продукції, тис. грн.

25

24

24

23

23

23

22

22

21

20

Річні видатки на утримання й ремонт устаткування , тис. грн.

15

15

16

16

17

17

18

18

19

20

тис. грн.

23.

Знайти оптимальний розподіл 4 млн. грн. між трьома підприємствами галузі. Прибуток, яку можна одержати від капіталовкладень певного обсягу в кожне підприємство, подано в таблиці.

Вкладені

кошти,

млн. грн.

Прибуток від випуску продукції, млн. грн.

Підприємство 1

Підприємство 2

Підприємство 3

0

0

0

0

1

0,33

0,32

0,34

2

0,52

0,50

0,51

3

0,77

0,74

0,81

4

0,91

0,90

0,88

24.

Торговельне підприємство має 5 автокрамниць, які повинні бути відправлені вихідного дня в 3 населені пункти. Вважається, що товарообіг підприємства залежить лише від кількості й асортименту товарів і визначається кількістю відправлених у той або іншій населений пункт машин.Середнє значення товарообігу в тис. грн. у кожному з населених пунктів наведено в таблиці.

Кількість

автокрамниць

Товарообіг у населених пунктах, тис. грн.

Підприємство 1

Підприємство 2

Підприємство 3

1

15

12

18

2

24

20

23

3

30

31

29

4

37

38

36

5

41

42

39

Визначити оптимальну стратегію підприємства в розподілі автокрамниць у населені пункти за умови максимізації загального товарообігу.

25.

У таблиці зазначено можливий прибуток від виготовлення продукції чотирма плодово-консервними заводами області в млн. грн. при вкладенні інвестицій на їхню модернізацію з дискретністю 50 млн. грн., причому на один завод можна здійснити тільки одну інвестицію.

Інвестиції,

млн. грн.

Прибуток від виготовлення продукції, млн. грн.

Завод 1

Завод 2

Завод 3

Завод 4

50

25

30

36

28

100

60

70

64

56

150

100

90

95

110

200

140

122

130

142

Визначити оптимальну стратегію розподілу інвестицій між заводами області, що максимізує загальний приріст виготовлення продукції.

26.

У трьох районах міста підприємець планує будівництво чотирьох однакових по площі магазинів «Продукти». Відомі місця в, яких їх можна побудувати. Видатки (млн. грн.) на їхнє будівництво й експлуатацію подані в таблиці.

Визначити план розміщення магазинів у районах так, щоб забезпечити мінімальні загальні видатки на їхнє будівництво й експлуатацію.

27.

Розв'язати задачу 26, використовуючи наступні дані.

28.

Розв'язати задачу 27, використовуючи наступні дані.

29.

У трьох областях необхідно побудувати п'ять підприємств однакової потужності з виготовлення хлібобулочних виробів.

Визначити розміщення підприємств так, щоб забезпечити мінімальні загальні видатки на їхнє будівництво й експлуатацію, якщо значення функції видатків (млн. грн.) наведено в таблиці

1

2

3

4

5

11

18

35

51

76

10

19

34

53

75

9

20

36

54

74

30.

Підприємство використовує встаткування вартістю в 4 800 грн. Ціна, за якою це встаткування можна реалізувати наприкінці року , а також експлуатаційні витрати наведені в таблиці.

Строк

експлуатації

1

2

3

4

5

6

7

8

грн.

2 900

2 700

2 400

2 100

1 850

1 800

1 700

1 600

Поточні витрати

грн.

900

1 050

1 150

1 250

1 700

2 100

2 500

2 550

Визначите стратегію заміни устаткування. Замінене устаткування списується.