1.3.4. Інтегрування тригонометричних та гіперболічних функцій

I. Інтеграли вигляду , де – раціональна функція своїх аргументів і , завжди зводяться до інтегралів від раціональної функції за допомогою універсальної тригонометричної підстановки . Звідси отримуємо: , , , .

Приклад 16. Знайти інтеграл .

Використовуючи універсальну тригонометричну підстановку, отримуємо

.

Універсальна тригонометрична підстановка часто призводить до складних дробово-раціональних функцій. Тому розглянемо інші підстановки:

1. Якщо , то використовуємо підстановку .

2. Якщо , то використовуємо підстановку .

3. Якщо , то використовуємо підстановку .

Приклад 17. Знайти інтеграл .

Підінтегральна функція має властивість .

Тому використовуємо підстановку , . Розділимо чисельник і знаменник підінтегральної функції на . Отримаємо

.

II. Інтеграли , , обчислюються з використанням формул тригонометрії

,

,

відповідно.

Приклад 18. Знайти інтеграл .

.

ІІІ. Інтеграли: а) , б) , в) , г) ,

Є різні способи обчислення цих інтегралів. Розглянемо деякі із них.

1. заміна , тоді , . Тому – це інтеграл від раціональної функції, який розглянуто в 1.3.2.

2. заміна , тоді , . Тому .

3. інтеграл просто обчислюється у випадку непарного наступним чином:

– це

інтеграл від многочлена степеня .

Якщо , то можна скористатись формулою пониження степеня: .

4. для цього інтеграла зауваження аналогічні як для випадку в). Якщо , то

.

Якщо , то використовуємо формулу пониження степеня:

.

Крім того, для інтегралів а) – г) можна отримати рекурентні формули.

Приклад 19. Знайти інтеграли: а) ; б) .

а) Заміна , , тоді , . Тому

.

б) Використаємо формулу пониження степеня: . Тоді

IV. Інтеграли вигляду .

Розглянемо такі три випадки:

1. Нехай принаймні одне з чисел чи є непарне натуральне число, наприклад . Тоді

.

А це є інтеграл від многочлена.

2. Нехай та – парні натуральні числа. Тоді використовуємо формули пониження степеня.

3. Нехай , . В цьому випадку вигідно використати підстановку або .

Приклад 20. Знайти інтеграли: а) , б) .

а) Маємо перший випадок:

.

б) Маємо третій випадок: .

.

V. Інтегрування гіперболічних функцій

Чотири основні гіперболічні функції визначаються через експоненту наступним чином

; ;

; .

Крім того, для гіперболічних функцій мають місце формули:

; ; ;

; .

Інтеграли від гіперболічних функцій завжди можна звести до інтегралів від експонент, проте іноді отримуємо складні підінтегральні вирази. Не існує загального методу інтегрування гіперболічних функцій.

Інтеграли вигляду , де – раціональна функція своїх аргументів і , завжди зводяться до інтегралів від раціональної функції за до–помогою підстановки . Звідси , , .

Якщо , то доцільно використати підстановку .

Якщо , то використовуємо підстановку .

Якщо , то доцільно використати підстановку .

Приклад 21. Знайти інтеграли:

а) ; б) ; в) ; г) .

а)

б) .

в) .

г) Використаємо формулу інтегрування частинами:

.

Звідси . Тому

.