Задача 2.

В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды А₁ В₁ С₁ D₁. Найдите:

а) длину ребра А₁ В₁;

б) косинус угла между векторами ;

в) уравнение ребра А₁ В₁;

г) уравнение грани А₁ В₁ С₁;

д) уравнение высоты, опущенной из вершины D₁ на грань А₁ В₁ С₁;

е) координаты векторов , , , и докажите, что они образуют линейно независимую систему;

ж) координаты вектора , где — середины ребер А₁ D₁ и В₁ С_1, соответственно;

з) разложение вектора по базису если А₁(-2,2,2), В₁(1,-3,0), С₁(6,2,4), D₁(5,7,-1).

Решение.

а) найдем координаты вектора по формуле:

= X_В - X_А ; Y_В - Y_А ; Z_В - Z_А , где (Х_А , Y_А , Z_А ) – координаты точки А_1, (Х_В , Y_В , Z_В ) – координаты точки В₁.

Итак, = Тогда = .

Итак, длина отрезка (или длина вектора ) равна . Это и есть искомая длина ребра.

б) координаты вектора = уже известны, осталось определить координаты вектора  : = .

Угол между векторами и вычислим по формуле:

cos = ,

где скалярное произведение векторов и равно ( , )= 3 ´ 8 + (-5) ´ 0 + (-2) ´2 =24 + 0 - 4=20, = , =  Итак, cos = = .

в) координаты точки А₁(-2,2,2) обозначим соответственно Х₀ = -2, У₀ = 2, Z₀=2, а координаты точки В₁ (1,-3,0) через Х₁=1, У₁ = -3, Z₁=0 и воспользуемся уравнением прямой в пространстве, проходящей через две точки: .

Следовательно, уравнение ребра А₁В₁ имеет вид или

г) обозначим координаты векторов и через Х₁=3, У₁= -5, ₁= -2 и Х₂=8, У₂= 0, ₂=2, соответственно. Векторное произведение данных векторов определяется формулой

Так как данный вектор перпендикулярен грани А₁ В₁ С_1, то можно воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через точку (Х₀, У₀, ₀) перпендикулярно вектору , которое имеет вид:

А .

Подставим координаты точки А₁ (Х₀=-2, У₀=2, ₀=2) и координаты перпендикулярного вектора А=-10, В=-22, С=40 в это уравнение:

– 10 ( Х + 2 ) - 22 (У - 2) + 40 ( - 2) = 0. Раскроем скобки и приведем подобные члены – 10 х – 22 у + 40z + (- 20 + 44-80)=0. Итак, уравнение грани А₁ В₁ С₁ имеет вид: -10х - 22у + 40 z-56=0 или -5х - 11у + 20 z - 28=0.

д) вектор является направляющим вектором высоты, опущенной из вершины D₁ на грань А₁В₁С₁. Воспользуемся уравнением прямой в пространстве, проходящей через точку с заданным направляющим вектором: , где – координаты точки D₁. Отсюда искомое уравнение: или

е) координаты вектора = = .

Обозначим = , = , .

Чтобы доказать, что векторы образуют линейно независимую систему векторов необходимо убедиться, что определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов,

отличен от 0. Определитель третьего порядка равен

= - + =

=

Вычислим определитель

=3 – (–5) +(–2)  = 3 (0 (–3) – 5 2)+5 (8 (–3) – 7 2) –

- 2 (8 5 – 7 0) =3 (–10)+5 (–24 – 14) – 2 40=–30 – 190 – 80 = –300.

Так как данный определитель отличен от 0, то вектора образуют линейно независимую систему.

ж) сначала найдем координаты точек М и N, соответственно. Координаты точки

М =  =   =  N = = = .

Получаем вектор = .

з) обозначим через координаты вектора в базе .

Тогда =  =  .

Так как: = + + ;

= + + = ,

то приравнивая соответствующие координаты, получим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

(1)

Решим данную систему уравнений с помощью формул Крамера (см.  глава 10, стр. 268). Рассмотрим произвольную систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

2. 

Тогда = z , где:

Для системы (1) определитель:

=3 –8 +7 =

= 3 ( –10) – 8 ( 15 + 10 ) + 7 ( –10) = –30 – 200 – 70 = –300;

 = 2  –8  +7 =

=3 –2 +7 =

=3

=3 –8 +2 =

=

По формулам Крамера

Итак, разложение вектора по базису ( ) имеет вид

=

Задача 3. Для решения задачи 3 необходимо изучить .

Задача 4. Найти производную функции z = x² – xy + y² в точке М₀(1; 1):

а) в направлении вектора ;

б) определить градиент z в точке М₀(1; 1), его величину и направление.

Решение:

а) Функцией z = x² – xy + y² определено плоское скалярное поле в точке (х; у). Производная функции z = f(x; y) по данному направлению определяется формулой:

, где cos a, cos b – направляющие косинусы вектора .

В задаче направление определено вектором , его направляющие косинусы

.

Определим частные производные функции в точке М₀(1; 1):

.

Тогда производная по направлению равна = 1×0,6+1×0,8 =  1,4 > 0. Производная по направлению определяет скорость изменения функции z(x, y) в этом направлении. Так как > 0, то в этом направлении функция z возрастает.

б) grad z есть вектор, указывающий направление набольшего возрастания поля в данной точке и имеющий модуль, равный скорости этого возрастания. Этот вектор определяется по формуле:

grad z =

Следовательно, grad z = .