Методические рекомендации по выполнению контрольной работы

Для решения задачи 1 см.   глава 1, § 1–5.

Задача 1.

На складе университета хранится 28 одинаковых упаковок писчей бумаги. Известно, что в четырех из них содержится бумага более низкого качества. Случайным образом выбирают три упаковки бумаги. Вычислить вероятность того, что среди них:

а) нет упаковок с бумагой более низкого качества,

б) есть одна упаковка такой бумаги.

Решение. Общее число возможных элементарных исходов для данных испытаний равно числу способов, которыми можно извлечь 3 упаковки бумаги из 28 упаковок, то есть – число сочетаний из 28 элементов по 3.

а) подсчитаем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию (нет упаковок с бумагой более низкого качества). Это число исходов ровно числу способов, которыми можно извлечь 3 упаковки бумаги из 24 упаковок (столько упаковок содержит бумагу высшего сорта),то есть

искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

б) подсчитаем число исходов, благоприятствующих данному событию (среди трех упаковок бумаги ровно 1 упаковка содержит бумагу более низкого качества): две упаковки можно выбрать из 24 упаковок: способами, при этом одну упаковку нужно выбирать из четырех: способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех элементарных исходов .

Ответ: а) б)

Задача 2.

Магазин получает электролампочки с двух заводов, причем доля первого завода составляет 25 %. Известно, что доля брака на этих заводах равна соответственно 5 % и 10 % от всей выпускаемой продукции. Продавец наугад берет одну лампочку. Какова вероятность того, что она окажется бракованной?

Решение: Обозначим через А событие – «лампочка окажется бракованной». Возможны следующие гипотезы о происхождении этой лампочки: «лампочка поступила с первого завода», «лампочка поступила со второго завода». Так как доля первого завода составляет 25 %, то вероятности этих гипотез равны соответственно:

Условная вероятность того, что бракованная лампочка выпущена первым заводом – вторым заводом – Искомую вероятность того, что продавец взял бракованную лампочку, находим по формуле полной вероятности: .

Ответ:

Для решения задачи 3 см. глава 6, § 1–3; глава 7, § 1–2; глава 8 § 1–3.

Задача 3.

Задан закон распределения дискретной случайной величены Х:

Х	–-4	–-2	00	22	44	66	88
р	00,05	р	00,12	00,23	00,32	00,14	00,04

Найдите:

а) неизвестную вероятность р,

б) математическое ожидание М, дисперсию D и среднее квадратическое отклонение данной случайной величены;

в) функцию распределения F(x) и построить ее график ;

г) закон распределения случайной величины Y , если ее значения заданы функциональной зависимостью

Решение:

а) так как сумма всех вероятностей должна равняться единице, то получим уравнение

Отсюда ;

б) математическое ожидание М это сумма всех произведений значений случайной величины на их вероятности:

Дисперсия D=

Среднее квадратическое отклонение = ;

в) если <

если – 4< <

если – 2< <

если 0< 0,05 + 0,1 + 0,12 = 0,15 + 0,12 = 0,27

если 2< 0,27 + 0,23 = 0,5;

если 4< 0,5 + 0,32 = 0,82;

если 6< 0,82 + 0,14=0,96;

если х >8, то F(x)=Р( Х < х )=0,96 + 0,04=1.

Итак, функция распределения может быть записана так:

F (x) = 

График этой функции приведен на рисунке:

г) сначала найдем значения случайной величены Y.

По условиям задачи

Поэтому

Составим таблицу вида.

Y	7	3	–1	3	7	11	15
P	0,05	0,1	0,12	0,23	0,32	0,14	0,04

Чтобы получить закон распределения случайной величены Y, необходимо:

1) рассмотреть ее значение в порядке возрастания;

2) сложить вероятности, соответствующие совпадающим значениям данной таблицы.

Итак, закон распределения случайной величены Y :

Y	–1	3	7	11	15
Р	0,12	0,33	0,37	0,14	0,04

Для решения задачи 6 см.   глава 5, §2, §3.