8.5 Преобразование компонент тензора

При повороте системы координат компоненты тензора 2-го ранга (в дальнейшем – просто тензора) преобразуются по (8.4). В развернутом виде это будет 9 сумм по 9 слагаемых в каждой:

= а_1′1а_1′1А₁₁+а_1′1а_1′2А₁₂ + а_1′1а_1′3А₁₃ + а_1′2а_1′1А_{2 1} + а_1′2а_1′2А₂₂

+а_1′2а_1′3А₂₃+а_1′3а_1′1А₃₁+а_1′3а_1′2А₃₂+а_1′3а_1′3А₃₃;

= а_1′1а_2′1А₁₁ + а_1′1а_2′2А₁₂ + а_1′1а_2′3А₁₃ + а_1′2а_2′1А₂₁ + а_1′2а_2′2А₂₂

+ а_1′2а_2′3А₂₃ + а_1′3а_2′1А₃₁ + а_1′3а_2′2А₃₂ + а_1′3а_2τ3А₃₃ ;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

= а_3′1а_3′1А₁₁ + а_3′1а_3′2А₁₂ + а_3′1а_3′3А₁₃ + а_3′2а_3′1А₂₁ + а_3′2а_3′2А₂₂

+ а_3′2а_3′3А₂₃ + а_3′3а_3′1А₃₁ + а_3′3а_3′2А₃₂ + а_3′3а_3′3А_33.

Т.о., чтобы определить компоненты тензора в новой системе ко-ординат, нужно знать его компоненты в старой и девять направляющих косинусов углов между осями старой и новой систем координат.

8.6 Сложение и умножение тензоров

Тензор с компонентами С_iк называется суммой тензоров с компонентами А_iк и В_iк, если каждая его компонента равна сумме соответствующих компонент А_iк и В_iк [11]:

Следовательно, складывать (вычитать) можно только тензоры одинаковых рангов. Правило сложения относится к любому числу тензоров–слагаемых.

При умножении тензора на скаляр получается тензор такого же ранга. Его компоненты равны компонентам исходного тензора, умноженным на скаляр:

Сложение тензоров и умножение на скаляр является линейными операциями.

8.7 Симметрирование и альтернирование тензоров

Тензор называется симметричным, если при перестановке какой-либо пары индексов значения его компонент не изменяются:

.

У симметричного тензора компоненты, симметричные относительно главной диагонали, равны между собой:

Если при перестановке какой-либо пары индексов компоненты тензора меняют знак, то такой тензор называется антисимметричным. У антисимметричного тензора компоненты, лежащие на главной диагонали, равны нулю, а компоненты, симметричные относительно главной диагонали, равны, но имеют противоположные знаки:

Антисимметричный тензор 2-го ранга также называется бивектором. Иногда его называют кососимметричным тензором.

Антисимметричность тензоров, как и симметричность не зависит от выбора системы координат, что следует из (8.4).

По определению, тензор равен нулю, если все его компоненты равны нулю. Такой тензор называется нулевым тензором.

Если у произвольного тензора поменять местами индексы, то получим новый тензор, транспонированный относительно исходного:

Любой тензор А_iк может быть представлен в виде суммы симметричного Т_iк и антисимметричного S_iк тензоров:

Тензор симметричный, т.к. Т_ik = Т_ki:

Тензор антисимметричный, т.к. S_ik = - S_ki :

Получение симметричного и антисимметричного тензоров из исходного называется соответственно симметрированием и альтерниро-ванием.

Пример: Пусть исходный тензор имеет вид:

Тогда :