Литература

1. Основы математической статистики. Учебное пособие для институтов физической культуры. – М.: "Физкультура и спорт", 1990

2. Практикум по общей, экспериментальной и прикладной психологии (под ред. А.А. Крылова и С.А. Маничева). – СПб: ПИТЕР, 2000

3. Ингекамп К. Педагогическая диагностика. – М.: Педагогика, 1991

4. Ашмарин И.П., Васильев Н.Н., Амбросов В.А. Быстрые методы статистической обработки и планирования эксперимента. – Л.: Изд-во ЛГУ, 1975.

5. Общая психодиагностика. Под редакцией А.А.Бодалева, В.В.Столина. - МГУ, 1987.

6. Сидоренко Е. Методы математической обработки в психологии. – СПб:Речь, 2004

7. Практикум по общей психологии . Под редакцией А.И. Щербакова. – М.:Просвещение, 1990

§3.2. Контр. Работа №3. Задача 3.2.

ОСНОВЫ КОРРЕЛЯЦИОННОГО АНАЛИЗА.

Методические рекомендации и схема решения задачи №2

Значение термина "корреляция" – взаимная (статистическая) связь. В отличие от функциональной связи между переменными статистическая связь проявляется лишь в тенденции, в ней всегда есть элемент случайности. Так, например, наблюдается корреляционная связь между ростом людей и их весом: чем выше рост, тем, как правило, больше вес человека. Однако, не всегда больший рост соответствует большему весу.

При изучении отношений между переменными используются термины корреляционная связь или корреляционная зависимость.

Корреляционная связь означает, что изменчивость одного признака находится в некотором соответствии с изменением другого. Корреляционная зависимость – изменения, которые вносят значения одного признака в вероятность появления разных значений другого признака. Так как в большинстве случаев достаточно сложно определить, какой из признаков оказывает влияние на изменение другого признака, более корректным является термин корреляционная связь. Т.о., корреляционная связь – это любые согласованные изменения, которые могут объясняться различными причинами.

Корреляционные связи, как и другие математические соотношения в психологических измерениях, не абсолютны, они также подчиняются законам вероятности.

Как указывалось, не всегда, например, больший рост соответствует большему весу. Однако, связь этих двух величин довольно тесная (при соответствующих измерениях мы можем обнаружить значимый коэффициент корреляции).

Корреляционные связи различают по форме, направлению и степени – силе.

По форме корреляционная связь может быть прямолинейной или криволинейной.

- Прямолинейная – например, при исследованиях памяти выявлено, что количество повторений определенного текста сопровождается ростом уровня запоминания.

- Криволинейную связь может иллюстрировать закон Йеркса-Додсона: продуктивность деятельности вначале будет возрастать при повышении мотивации, затем – достигнет наиболее высокого значения и будет падать при слишком сильной мотивировке (например, если Вас начинают запугивать тем, что Вас уволят, исключат из университета и т.п., Вы начнете нервничать и продуктивность будет падать).

Продуктивность

Сила мотивационной тенденции

По направлению – корреляционная связь может быть положительной (прямой) и отрицательной (обратной) и иметь, соответственно, знак "+" или "–". При положительной корреляции коэффициент имеет положительный знак, например, r = + 0, 327, а при отрицательной корреляции знак коэффициента, соответственно, отрицательный, например, r = - 0,523. Положительная корреляционная связь означает, что два признака связаны таким образом, что при увеличении одного признака второй также увеличивается. При отрицательной связи – увеличение одного признака связано с уменьшением другого, при анализе результатов психологических исследований такую связь обычно интерпретируют так: у людей, имеющих высокие показатели одного признака (например, тревожности), обнаруживается пониженное значение другого признака (например, склонности к риску).

Степень или сила или теснота корреляционной зависимости определяется по величине коэффициента корреляции.

Коэффициент корреляции может варьировать от –1 до +1. Если коэффициент корреляции равен 0, то связь между признаками отсутствует. Степень отличия коэффициента корреляции от нуля (в пределах от +1 до –1 ) выражает меру статистической связи между признаками.

Наиболее широкое применение имеют два вида коэффициентов корреляции:

• коэффициент корреляции Пирсона (r _xy ), являющийся мерой линейной связи между признаками x и y;

• коэффициент ранговой корреляции Спирмена (r_s)

К

r_xy =

оэффициент корреляции Пирсона вычисляется по формуле:

Где x_i и y_{i -} значения сравниваемых признаков x и y

- средние арифметические переменных x и y .

и

n – количество наблюдений (испытуемых в выборке)

σ_x и σ_y - стандартные отклонения в сопоставляемых рядах значений признаков переменных x и y .

На практике коэффициенты корреляции можно получить при обработке данных на компьютере (программа Exel или пакет "Статистика").

Ряды первичных данных (баллов или стандартных значений, в которых измеряется признак) вводятся в столбцы "экселевской" таблицы:

Таблица 1.

	Испытуемый	Цифровое выражение показателя в сырых баллах (методики)
		Интеллект. Потенциал (по методике Ржичана)	Личн. тревожность (по методике Спилбергера)	Самооценка (по Будасси)	Агресивность (по методике Басса-Дарки)	Нейротизм (по методике Айзенка)
n	Испытуемые/столбцы	1	2	3	4	5
	М.Н.	23	35	0,91	30	12
	С.И.	17	48	0,41	23	18
	О.Н.	9	61	0,61	28	22
	С.В.	21	39	0,64	16	11
	Т.К.	19	43	0,31	24	14
	А.Л.	20	37	0,05	11	9
	Н.Ж.	9	46	0,79	19	13
	В.Н.	24	27	0,42	12	7
	Р.Г.	17	62	0,22	24	23
	С.Е.	16	36	0,54	20	10
	Б.Г.	6	63	0,06	16	21
	К. Т	16	45	0,75	12	17
	Т.К	15	58	0,17	27	20
	Р.З	26	30	0,59	6	8
	С.Ц	19	36	0,28	17	11
	О.С	7	64	0,83	22	21
	Л.В	17	51	0,09	28	19
	Д.Н	12	61	0,18	21	22
	В.К	15	34	0,24	13	12
	Ж.Д	16	41	0,21	18	16
	З.Т	11	48	0,26	21	18
	Н.Р.	14	53	0,03	18	21
	У.Л.	15	50	0,25	22	15
	З.Б.	12	33	0,34	12	6
	Р.Т.	18	45	0,15	23	16
	Б.О.	21	34	0,36	15	10
	Н.Х.	16	41	0,23	17	15
	В.Ц.	17	46	0,56	30	19
	К.Ш.	10	57	0,41	26	21
	С.У.	21	32	0,24	18	11

В программе "Еxel" в опции "Сервис" находим опцию "Анализ данным" и следуем инструкции. В результате получаем диагональную корреляционную матрицу, где номера столбцов соответствуют анализируемым параметрам, а цифры на их пересечении – коэффициентам корреляции между переменными. В данном статистическом пакете вычисляется коэффициент линейной корреляции Пирсона.

Имея 5 переменных, мы получаем 10 коэффициентов корреляции, корреляция параметра с самим собой, естественно, равна 1. В нашем примере матрица коэффициентов корреляции выглядит таким образом:

Таблица 2

Матрица коэффициентов корреляции (пример)

	Столбец 1	Столбец 2	Столбец 3	Столбец 4	Столбец 5
Столбец 1	1
Столбец 2	-0,734	1
Столбец 3	0,038	-0,127	1
Столбец 4	-0,263	0,545	0,095	1
Столбец 5	-0,614	0,934	-0,160	0,621	1

Вычисление коэффициента корреляции должно сопровождаться определением его статистической значимости.

Ивантер Э.Г. и Коросов А.В¹. приводят такую классификацию корреляционных связей по их силе:

1) сильная или тесная: при коэффициенте корреляции r > 0, 70

2) средняя при коэффициенте корреляции 0,50 < r > 0,69

3) умеренная при коэффициенте корреляции 0,30 < r > 0,49

4) слабая при коэффициенте корреляции 0,20 < r > 0,29

5) очень слабая при коэффициенте корреляции r < 0,19

В этой классификации, однако, не учитывается объем выборки. В общем случае, чем больше выборка (большое количество измерений параметров, связь между которыми изучается), тем меньшая абсолютная величина коэффициента будет считаться статистически значимой, и наоборот. В результате при малом объеме выборки может оказаться так, что довольно большое численное значение коэффициента корреляции (например, выше 0,5) не может считаться достаточным для того, чтобы корреляционная связь рассматривалась как достоверная, значимая. В то же время при больших объемах выборки даже слабая корреляция (небольшой коэффициент) может оказаться достоверной. Этот факт связан с теорией вероятности, значимость коэффициента корреляции зависит также от уровня статистической значимости.

Уровень статистической значимости – это вероятность того, что мы сделали вывод в пользу какой-либо статистической гипотезы (например, о том, что корреляционная связь между переменными является достоверной), а эта связь на самом деле – случайна (может быть, у нас подобралась специфическая выборка, или наши испытуемые в связи с какими-то несущественными факторами отвечали на вопросы теста сегодня именно таким образом, а завтра могут ответить иначе).

Когда мы указываем, что различия достоверны на 5% уровне значимости, или при ρ ≤ 0,05, то мы имеем в виду, что вероятность того, что связь всё-таки недостоверна, составляет 0,05 (или 5% из 100%). Этот уровень достоверности называют иногда 95%-ным. Вероятность принять ошибочное решение при этом составляет 5% (0,05). Эта величина и называется уровнем значимости и всегда указывается в статистическом выводе.

Кроме того, можно выбрать 99%-ный и 99,9% уровень достоверности, при которых вероятность принять ошибочное решение составляет соответственно 1% и 0,1%. Эти уровни значимости обозначаются соответственно ρ ≤ 0,01 и ρ ≤ 0,001.

В справочниках приводятся таблицы критических значений r_xy. .Если вычисленный коэффициент корреляции r_xy > r_табл., на каком-либо уровне значимости, то он является статистически достоверным. Таблица 3.

Таблица критических значений r_xy

n	0,05	0,01	n	0,05	0,01
10	0,63	0,77	26	0,39	0,50
11	0,60	0,74	27	0,38	0,49
12	0,58	0,71	28	0,37	0,48
13	0,55	0,68	29	0,37	0,47
14	0,53	0,66	30	0,36	0,46
15	0,51	0,64	31	0,36	0,46
16	0,50	0,62	32	0,35	0,45
17	0,48	0,61	33	0,34	0,44
18	0,47	0,59	34	0,34	0,44
19	0,46	0,58	35	0,33	0,43
20	0,44	0,56	36	0,33	0,42
21	0,43	0,55	37	0,32	0,42
22	0,42	0,54	38	0,32	0,41
23	0,41	0,53	39	0,31	0,41
24	0,40	0,52	40	0,31	0,40
25	0,40	0,51	42	0,30	0,39

С сокращениями по кн.: Рамуль К.А. Введение в методы экспериментальной психологии. – Тарту, 1966.

В нашем примере (табл. 1) находим значимые коэффициенты корреляции, исходя из того, что r_табл. для n = 30 на 95% уровне вероятности равен 0,36. Следовательно, полученные в нашей матрицы коэффициенты, абсолютное значение которых (без учета знака) выше 0,36, могут считаться значимыми, что означает также, что связь между этими переменными статистически достоверна на уровне статистической значимости ρ ≤ 0,05. На уровне статистической значимости при ρ ≤ 0,01 значимыми оказываются коэффициенты, большие 0,45.

При больших выборках (если испытуемых более 50) значимость корреляционной связи определяется с помощью t-критерия Стьюдента, рассчитываемого по формуле:

Где r_{xy –} коэффициент корреляции между переменными x и y$

n’ – число степеней свободы, в данном случае n’= n-2

После вычисления эмпирического значения t-критерия Стьюдента, мы сравниваем его с табличным значением (критическое значение t-критерия ) и отвергаем гипотезу об отсутствии связи, если t_{эмп. ≥} t _критич.

Таким образом, в рассматриваемом примере мы можем сделать вывод, что статистически значимая связь существует между такими параметрами, как личностная тревожность и нейротизм (сильная корреляционная связь); личностная тревожность положительно связана также с агрессивностью; в то же время имеется отрицательная корреляционная связь между уровнем интеллектуального потенциала с одной стороны и личностной тревожностью (r_xy = - 0,73) и нейротизмом (r_xy = - 0,61) . Эту связь можно объяснить тем, что люди с высокой тревожностью (которая концептуально близка к феномену нейротизма в теории Айзенка) в ситуации необходимости решения необычных задач при ограничении времени оказываются менее успешными. Другими словами, их тревожность оказывает отрицательное влиянии на функционирование когнитивных процессов в ситуации стресса.

Коэффициент корреляции Пирсона является мерой линейной связи между переменными. Если связь между переменными носит иной характер (например, выражается U – образной зависимостью), то величина r_xy окажется близкой к нулю, хотя объективно связь между переменными может быть очень сильной.

Поэтому коэффициент линейной корреляции Пирсона применяется в случаях:

• линейной связи между переменными

• нормального характера распределения обеих переменных

• переменные должны быть представлены в значениях шкал измерений

Е

r_s =

сли эти требования не соблюдены, применяется коэффициент ранговой корреляции Спирмена (переменные представлены в ранговых значениях, объем выборки может быть небольшим). Коэффициент Спирмена вычисляется по формуле:

Где n – количество пар данных;

d – разность рангов пары данных.

Для вычисления d значения переменных, которые подвергаются корреляционному анализу, ранжируются (ранг 1 присваивается наименьшему значению, одинаковые значения получают равные ранги). Получаем столбцы, где напротив имени каждого испытуемого по каждому параметру в соответствующей клеточке столбца находится определенный ранг. Затем подсчитываются разницы рангов между каждыми парами параметров. В нашем примере:

Таблица 4.