3. Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Известно, что между множеством упорядоченных пар действительных чисел и множеством всех точек плоскости может быть установлено взаимно однозначное соответствие.

Представим комплексное число как упорядоченную пару действительных чисел . Следовательно, каждому комплексному числу может быть поставлена в соответствие точка плоскости , и наоборот.

Это дает возможность рассматривать комплексные числа как точки координатной плоскости, которую называют комплексной плоскостью.

Ось абсцисс называется действительной осью (на ней расположены точки, соответствующие числам ), ось ординат – мнимой осью (на ней лежат точки, соответствующие мнимым числам ).

0

Часто удобно истолковывать комплексное число как вектор . Это позволяет дать простое геометрическое истолкование операциям над комплексными числами:

1. при сложении комплексных чисел их радиус-векторы складываются (по правилу параллелограмма),

2. при вычитании к.ч. их радиус-векторы вычитаются;

3. модуль разности к.ч. есть расстояние между точками комплексной плоскости, которые соответствуют этим числам;

4. - модуль суммы комплексных чисел не превосходит суммы модулей чисел-слагаемых

0

Пример. Дать геометрическое истолкование сумме и разности комплексных чисел и .

• Модулем комплексного числа называется длина соответствующего этому числу вектора:

.

Комплексные числа, имеющие один и тот же модуль , соответствуют точкам комплексной плоскости, расположенным на окружности радиуса с центром в начале координат.

Зная модуль числа, можно однозначно задать комплексное число можно, задав направление вектора с помощью величины угла .

• Аргументом комплексного числа называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором .

Величина угла считается положительным, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательной, если по часовой стрелке.

Аргумент к.ч., в отличие от модуля, определяется не однозначно. Например, аргументами к. ч. являются углы , , и, вообще, каждый из углов , где - произвольное действительное число. Любые два аргумента отличаются на число, равное .

Таким образом,

, где ,

• Главным значением аргумента к.ч. называется наименьшее по модулю значение аргумента, причем .

Заданием модуля и аргумента комплексное число определяется однозначно.

Действительная и мнимая части к.ч. выражаются через его модуль и аргумент следующим образом:

, .

Модуль и аргумент к.ч. определяются из условий:

(*)

Пример. Найти модуль и аргументы комплексного числа .

В данном случае , . Система (*) имеет вид

.

Из алгебраической формы к.ч. всегда видно, в каком квадранте комплексной плоскости расположено к.ч. Число находится в 4-ой координатной четверти (в этой четверти косинус принимает положительные значения, а синус – отрицательные), и его значение . Таким образом, , .

Пример. Какие множества точек комплексной плоскости задаются условиями: 1) ; 2) ?

Решение

1 ) Условию удовлетворяют те и только те точки комплексной плоскости, которые удалены от точки на расстояние, равное единице. Такие точки лежат на окружности единичного радиуса с центром в точке .

0 1

2) К.ч. , удовлетворяющие неравенствам , удалены от точки на расстояние большее или равное двум, но меньшее трех. Такие точки расположены внутри и на внутренней границе кольца, образованного двумя концентрическими окружностями с центром в точке и с радиусами и .