Определение коэффициента корреляции по выборка большого объема

ОБЪЕМ ВЫБОРКИ N > 50

Выборкой большого объема будем считать выборку, в которой несколько значении переменных встречаются по 2 и более раза.

Пример. Определим коэффициент корреляции между случайными величинами размеров двух деталей, обрабатываемых одновременно на одном станке. После обработки, каждой пары деталей производятся измерения, результаты которых заносятся в протокол (см. табл. 15).

Таблица 15

Номер опыта (№)	1	2	3	4	5	6	7	...	100
Деталь Х	21,867	21,845	21,871	21,878	21,847	21,867	21,867	...	21,867
Деталь Y	21,852	21,843	21,864	21,871	21,838	21,852	21,853	...	21,854

В каждом ряду отыскиваются минимальные и максимальные значения (21,845 мм - 21,878 мм, 21,838 мм -21,871 мм). Если разность между этими значениями велика, то все значения целесообразно разбить на группы. В нашем примере 21,878-21,845=0,033мм и 21,871-21,838=0,033 мм. Объединим все значения в группы с шириной интервала h = 0,002 мм. Затем строим корреляционную таблицу (см. табл. 16), в которой приводятся интервалы, середины интервалов и и значения новых случайных величин и , которые получаются по следующим формулам

; , где -величины интервалов.

За и обычно принимают среднее значение середин интервалов. Примем ; . В рассматриваемом примере . Переход к новым случайным величинам целесообразно делать в тех случаях, когда середины интервалов ; имеют двухзначные и более значения.

Для заполнения корреляционной таблицы пользуемся протоколом измерения деталей (табл. 15). Берем первый результат измерения 21,867-21,852. Ищем в табл. 16 по горизонтали интервал, содержащий число 21,867, а по вертикали-22,852. На пересечении этих координат ставим точку (обведена кружочком). Затем берем второй результат измерений 21,845-21,843, ищем интервал, содержащий эти значения, и на пересечении координат ставим точку (также обведена кружочком). Так поступаем со всеми парами замеров деталей.

В результате заполнения корреляционной таблицы получаем частоты встречаемости ( ) всех различных пар значений . Затем приступаем к определению эмпирического значения коэффициента корреляции, обозначаемого через по формуле (d)

, (d)

где n-число опытов;

-частота совместного наступления событий Х и У.

Последовательность вычисления r приведена в строках 1-5 и колонках 1-3 табл. 16.

Значения находятся как суммы частот по всем колонкам и строкам.

Находим , как сумму значений 1-й строки ( ) и 1-й колонки ( ). Равенство и служит контролем правильности вычисления и .

Все значения умножаем на и записываем во 2-й строке. Суммируя все значения этой строки, получаем .

Все значения умножаем на записываем по 2-й колонке. Суммируя все значения этой колонки, определяем .

Находим произведения значений строки 1 на и заполняем 3-ю строку. Суммируя значения этой строки, получим, что .

Корреляционная таблица
																									Таблица 16
					х'i	-8	-7	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7	8
					Середина интервалов хi	21,8385	8405	8425	8445	8465	8485	8505	8525	8545	8565	8585	8605	8625	8645	8665	8685	8705
																									1	2	3
	y'i	Середина	интервалов	уi	y \ x	21,838-21,839	840 841	842 843	844 845	846 847	848 849	850 851	852 853	854 855	856 857	858 859	860 861	862 863	864 865	866 867	868 869	870 871			ny'	ny' y'	ny' (y')2
	-8		21,	8455	21,845-21,846																				2	-16	128
	-7			8475	847 848																				1	-7	49
	-6			8495	849 850																				1	-6	36
	-5			8515	851 852																				1	-5	25
	-4			8535	853 854																				5	-20	80
	-3			8555	855 856																				5	-15	45
	-2			8575	857 858																				4	-8	16
	-1			8595	859 860																				8	-8	8
	0			8615	861 862																				6	0	0
	1			8635	863 864																				3	3	3
	2			8655	865 866																				20	40	80
	3			8675	867 868																				22	66	198
	4			8695	869 870																				13	52	208
	5			8715	871 872																				8	40	200
	6			8735	873 874
	7			8755	875 876
	8			8775	877 878																				1	8	64
																									Σy’ ny’	Σy’ ny’ y’	Σy’ ny’ (y’)2
				1	nx’	1		2	1	1	8	2	14	11	7	9	13	17	12		1	1		100
				2	nx’ x’	-8		-12	-5	-4	-24	-4	-14	0	7	18	39	68	60		7	8		136
				3	nx’ (x’)2	64		12	25	16	72	8	14	0	7	36	117	272	300		49	64		1116
				4	Σnx’y’ y’	-7		-16	-6	-4	-20	-2	-8	17	6	18	31	57	45		5	8		124
				5	Σnx’y’ y’x’	56		96	30	16	60	4	8	0	6	36	93	228	225		35	64		957	100	124	1140

Вычисляем произведения значений колонки 1 на и заполняем 3-ю колонку. Суммируя значения этой колонки, найдем, что .

Определяем произведения значений на соответствующие значения , суммируем эти произведения и заполняем строку 4.

Например: 1(-7)-7; 2(-8)  -16; 1(-6) = -6; 1 (-4)  -4;

1(5) + 3(-4) + 1(-3 ) + 2(- 1) 12 =- 5- 12- 3- 2 +2- -20 и т. д.

Суммируя все значения этой строки, определяем . Контролем правильности предыдущих вычислений служит равенство сумм значений 4-й строки и2-й колонки, т. е.

.

Значения 4-й строки умножаем на и заполняем строку 5. Сумма значений этой строки равна

.

Вычисленные значения сумм подставляем в формулу (d) и определяем эмпирическое значение коэффициента корреляции

После того, как определен коэффициент корреляции , необходимо оценить существенно ли отличие полученного значения от 0.

Для решения этой задачи можно воспользоваться способом Фишера [*].

Случайная величина , подчинена нормальному закону со средним квадратическим отклонением . Значения Z для различных r приведены в приложении 4.

В рассматриваемом примере:

. По приложению 4 находим, что для r = 0,82; Z = 1,1568.

Определяем

По найденному значению t по приложению 5 находим Ф(t). Вероятность того, что отклонение от 0 случайно равно . В примере для . Поэтому

За уровень значимости обычно принимают 0,05 или 0,01, Если , то значение можно считать полученным случайно, а исследуемые случайные величины некоррелятивными.

Так как коэффициент корреляции является случайной величиной, то иногда требуется по эмпирическому значению оценить теоретическое значение коэффициента , т. е, найти такой интервал, в котором с заданной надежностью находится значение .

Зададимся надежностью , т.е. . Это равенство выполняется при . Случайная величина имеет среднее квадратическое отклонение .

____________________________________

* Смирнов Н.В., Дунин-Барковский И.В. Краткий курс математической статистики для технических приложений, М., Физматгиз, 1959.

Поэтому .

Определив доверительный интервал для Z, по приложению 4 находим значения для .

Рассмотрим предыдущий пример. Величина . По приложению 4 находим Z = 1,1568.

Вычисляем .

Задаемся надежностью Ф(t)= 0,95. При этом t = 1,96.

Определяем доверительный интервал для , т. е. для Z, соответствующему теоретическому значению

или .

Пользуясь приложением 4 для найденных Z=1,0579 и 1,3557, находим значения .

Для Z = 1,0579, r = 0,79 и для Z= 1,3557, = 0,89.

Поэтому 0,79 < < 0,89, т. e. теоретическое значение коэффициента корреляции с вероятностью 0,95 лежит в этом интервале.