3.8.1. Последовательное соединение звеньев
Рассмотрим последовательное соединение типовых звеньев и найдем выражение для общей передаточной функции.
Рис. 3.26. Структурная схема
последовательного соединения звеньев.
Утверждение: передаточная функция последовательного соединения звеньев равна произведению передаточных функций всех звеньев.
|
(3.52) |
,Для доказательства найдем выходную переменную системы
Отношение y к u дает передаточную функцию (3.52).
3.8.2. Параллельное соединение звеньев
Параллельное соединение звеньев изображено на рис.3.27.
Рис.3.27 Структурная схема параллельного соединения звеньев
Утверждение: передаточная функция параллельного соединения звеньев равна сумме передаточных функций всех звеньев:
|
(3.53) |
Доказательство аналогично п.3.8.1.
3.8.3. Обратная связь
Звено, охваченное обратной связью, приведено на рис.3.28.
Рис.3.28. Структурная схема звена, охваченного обратной связью
Запишем выражение для выходной переменной
из которого можно найти передаточную функцию системы
|
(3.54) |
.Таким образом, передаточная функция системы с отрицательной обратной связью равна дроби, числитель которой соответствует передаточной функции прямого канала, а знаменатель есть сумма единицы и произведения передаточных функций прямого и обратного каналов.
В случае положительной обратной связи формула (3.54) принимает вид
|
(3.55) |
.На практике обычно встречаются системы с отрицательной обратной связью, для которых передаточная функция находится по соотношению (3.54).
3.8.4. Правило переноса
Иногда при структурных преобразованиях для получения общей передаточной функции системы удобнее переносить точку приложения сигнала через звено.
Рассмотрим, как изменится структура системы, если перенести точку приложения сигнала на выход.
Рис.3.29. Структурная схема исходной системы
Ее передаточная функция имеет вид
|
(3.56) |
.При переносе точки приложения сигнала необходимо придерживаться правила: передаточная функция системы должна оставаться неизменной. Поэтому преобразованная система будет иметь вид:
Рис.3.30. Структурная схема преобразованной системы
Передаточная функция системы, представленной на рис.3.30, следующая:
|
(3.57) |
.
Приравнивая
передаточную функцию (3.56) к функции
(3.57), определим
которую
необходимо ввести в систему,
|
(3.58) |
.Того же правила следует придерживаться при обратном переносе точки отбора сигнала.
3.9. Переход от передаточных функций к уравнениям состояния с использованием структурных схем
Рассмотрим одноканальную систему с известной передаточной функцией
|
(3.59) |
,которую можно представить в виде произведения двумя различными способами:
1)
|
(3.60) |
,
2)
|
(3.61) |
.Эти два варианта представления передаточной функции системы приводят к двум различным формам уравнений состояния.
Рассмотрим переход к дифференциальным уравнениям от первого представления, изобразив ее схематично.
Запишем операторные уравнения системы, соответствующие двум звеньям схемы рис.3.31.
|
(3.62) |
Разрешив первое уравнение (3.62) относительно pnz,
,
получим следующую структурную схему
Рис.3.32.
Схема, соответствующая уравнениям
(3.62)
Используя структурные преобразования, представим ее в виде:
Рис.3.33.
Схема, соответствующая первой форме
представления передаточной функции
Введем теперь переменные состояния:
,
которым соответствуют сигналы выхода интеграторов схемы 3.32.. Это позволяет записать дифференциальные уравнения и уравнение выхода системы (3.59) в виде
|
(3.63) |
Систему уравнений (3.63) можно представить в векторно - матричной форме со следующими матрицами
.
Рассмотрим переход к дифференциальным уравнениям от второго представления W(p), соответствующего схематичному изображению
Запишем ее операторные уравнения
|
(3.64) |
и представим на их основе структурную схему.
Рис.3.35. Схема, соответствующая уравнениям (3.64)
В результате структурных преобразований она принимает вид:
Рис.3.36. Структурная схема системы, соответствующая второй форме представления передаточной функции
Выберем в качестве переменных состояния выходные величины интеграторов и запишем относительно них дифференциальные уравнения
|
(3.65) |
Матрицы системы (3.65) следующие:
Как видим, переход от передаточной функции к описанию в переменных состояния является задачей неоднозначной. Мы рассмотрели варианты перехода к каноническому описанию.