§11. Предельные теоремы для схемы Бернулли

Предположим, нам нужна вероятность получить не менее десяти успехов в 1000 испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха 0,003. Вероятность этого события равна любому из следующих выражений:

(0,003)^k(0,997)^1000-k=1- (0,003)^k(0,997)^1000-k,

Сформулируем теорему о приближенном вычислении вероятности какого-либо числа успехов в большом числе испытаний схемы Бернулли с маленькой вероятностью успеха. Термин «большое число» должен означать п . Если при этом р=р_п→0, то, очевидно, вероятность получить любое конечное число успехов при растущем числе испытаний стремится к нулю. Необходимо чтобы вероятность успеха р=р_п 0 одновременно с ростом числа испытаний. Но от испытания к испытанию вероятность успеха меняться не может (по определению схемы Бернулли).

Поэтому рассмотрим «схему серий»: есть

одно испытание о с вероятностью успеха р₁

два испытания о,о с вероятностью успеха р₂

_……

п испытаний о,...,о с вероятностью успеха р_п

_{… …}

Вероятность успеха меняется не внутри одной серии испытаний, а от серии к серии, когда меняется общее число испытаний. Обозначим через ν_n число успехов в n-й серии испытаний.

Теорема Пуассона. Пусть п , р_п 0 так, что пр_п λ>0. Тогда для любого k≥0 вероятность получить k успехов в п испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха р_п стремится к величине :

Р( =k)= при п , р_п 0 так, что пр_п λ>0.

Доказательство. Положим λ_п=п∙р_п λ>0. Причем - при фиксированном k и при п . Тогда

= ~ .

При выводе мы использовали, что и . В самом деле, для последнего соотношения будет выполняться:

ln =n ln =n -λ.

Пользуясь теоремой Пуассона, можно приближенно посчитать вероятность получить не менее десяти успехов в 1000 испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха 0,003. Поскольку п=1000 «велико», а р_п=0,003 «мало», то, взяв λ=пр_п=3, можно написать приближенное равенство

1- (0,003)^k(0,997)^1000-k ≈1- = ≈0,001.

Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях п достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами. Например, если п=50,k=30,р=0,1, то для отыскания вероятности Р₅₀(30) надо вычислить выражение Р₅₀(30)=50!/(30!20!)·(0,1)³⁰·(0,9)²⁰, где 50!=30414093·10⁵⁷, 30!=26525286·10²⁵, 20!=24329020·10¹¹. Правда, можно несколько упростить вычисления, пользуясь специальными таблицами логарифмов, факториалов. Однако и этот путь остается громоздким и к тому же имеет существенный недостаток: таблицы содержат приближенные значения логарифмов, поэтому в процессе вычислений накапливаются погрешности; в итоге окончательный результат может значительно отличаться от истинного.

Локальная теорема Лапласа дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно k раз в п испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

Заметим, что для частного случая, а именно для р=1/2, асимптотическая формула была найдена в 1730 г. Муавром; в 1783 г. Лаплас обобщил формулу Муавра для произвольного р, отличного от 0 и 1. Поэтому теорему, о которой здесь идет речь, иногда называют теоремой Муавра—Лапласа.

Приведем формулировку теоремы и примеры, иллюстрирующие ее использование.

Локальная теорема Лапласа. Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Р_п(k) того, что событие А появится в п испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше п) значению функции

y= · = · (x)

при x=(k-np)/ .

Имеются таблицы, в которых помещены значения функции (x)= , соответствующие положительным значениям аргумента х. Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, так как функция (x) четна, то есть (-x)= (x).

Итак, вероятность того, что событие А появится в n независимых испытаниях ровно k раз, приближенно равна

P_n(k)≈ · (x),

где x=(k-np)/ .

Пример. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

Решение. По условию n=400;k=80;р=0,2;q=0,8. Воспользуемся асимптотической формулой Лапласа:

P₄₀₀(80)≈ · (x)= · (x).

Вычислим определяемое данными задачи значение х:

x=(k-np)/ =(80-400·0,2)/8=0.

По таблице находим (0)=0,3989.

Искомая вероятность

P₄₀₀(80)=(1/8)·0,39989=0,04986.

Формула Бернулли приводит примерно к такому же результату:

Р₄₀₀(80)=0,0498.

Пример. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле р=0,75. Найти вероятность того, что при 10 выстрелах стрелок поразит мишень 8 раз.

Решение. По условию n=10;k=8;р=0,75;q=0,25. Воспользуемся асимптотической формулой Лапласа:

P₁₀(8)≈ · (x)=0,7301· (x).

Вычислим определяемое данными задачи значение х:

x= = ≈0,36.

По таблице находим (0,36)=0,3739.

Искомая вероятность

Р₁₀(8)=0,7301·0,3739=0,273.

Формула Бернулли приводит к иному результату, а именно Р₁₀(8)=0,282. Столь значительное расхождение ответов объясняется тем, что в настоящем примере п имеет малое значение (формула Лапласа дает достаточно хорошие приближения лишь при достаточно больших значениях п).

Предположим, что производится п испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р (0<р<1). Вычислим вероятность Р_п(k_l,k₂) того, что событие А появится в п испытаниях не менее k_l и не более k₂ раз (для краткости будем говорить «от k₁ до k₂ раз»). Для этого сформулируем интегральную теорему Лапласа.

Интегральная теорема Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Р_п(k₁,k₂) того, что событие А появится в п испытаниях от k₁ до k₂ раз, приближенно равна определенному интегралу

Р_п(k_l,k₂) ,

где х’=(k₁-np)/ и х”=(k₂-np)/ .

При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Лапласа, пользуются специальными таблицами, так как неопределенный интеграл не выражается через элементарные функции. В этих таблицах даны значения функции Ф(х)= для положительных значений х и для х=0; для х<0 пользуются той же таблицей (функция Ф(х) нечетна, то есть Ф(-х)=-Ф(х)). В таблицах приведены значения интеграла лишь до х=5, так как для х>5 можно принять Ф(х)=0,5. Функцию Ф(х) часто называют функцией Лапласа.

Для того чтобы можно было пользоваться таблицей функции Лапласа, преобразуем данное соотношение так:

Р_п(k₁,k₂) + =

= - =Ф(х”)-Ф(х’).

Итак, вероятность того, что событие А появится в п независимых испытаниях от k₁ до k₂ раз,

Р_п(k₁,k₂) Ф(х")-Ф(х’),

где х’=(k₁-np)/ и х”=(k₂-np)/ .

Приведем примеры, иллюстрирующие применение интегральной теоремы Лапласа.

Пример. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна р=0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей.

Решение. По условию р=0,2;q=0,8;п=400;k₁=70;k₂=100. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

Р₄₀₀(70,100)≈Ф(х”)-Ф(х’).

Вычислим нижний и верхний пределы интегрирования:

x’= = =-1,25;

x”= = =2,5.

Таким образом, имеем

Р₄₀₀(70,100)=Ф(2,5)-Ф(-1,25)=Ф(2,5)+Ф(1,25).

По таблице функции Лапласа находим:

Ф(2,5)=0,4938; Ф(1,25)=0,3944.

Искомая вероятность

Р₄₀₀(70,100)=0,4938+0,3944=0,8882.

Обозначить через т число появлений события А при п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события А постоянна и равна р. Если число т изменяется от k₁ до k₂, то дробь (т-np)/ изменяется от (k₁-np)/ =х’ до (k₂-np)/ =х”. Следовательно, интегральную теорему Лапласа можно записать и так:

Р(х’≤ ≤х”) .

Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях.

Будем считать, что производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р (0<р<1). Найдем вероятность того, что отклонение относительной частоты т/п от постоянной вероятности р по абсолютной величине не превышает заданного числа ε>0. Другими словами, найдем вероятность осуществления неравенства

|т/п-р|≤ε.

Эту вероятность будем обозначать так: Р(|т/п-р|≤ε). Заменим неравенство ему равносильными:

-ε≤т/п–р≤ε или -ε≤(т-пр)/п≤ε.

Умножая эти неравенства на положительный множитель , получим неравенства, равносильные исходному:

-ε ≤(т-пр)/ ≤ε .

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа в форме

Р(х’≤ ≤х”) .

Положив х’=-ε и х”=ε , имеем

Р(-ε ≤(т-пр)/ ≤ε )≈

≈ = =2Ф(ε ).

Наконец, заменив неравенства, заключенные в скобках, равносильным им исходным неравенством, окончательно получим

Р(|т/п-р|≤ε) 2Ф(ε ).

Итак, вероятность осуществления неравенства |т/п-р|≤ε приближенно равна значению удвоенной функции Лапласа 2Ф(х) при x=ε .

Пример. Вероятность того, что деталь не стандартна, р=0,1. Найти вероятность того, что среди случайно отобранных 400 деталей относительная частота появления нестандартных деталей отклонится от вероятности р=0,1 по абсолютной величине не более чем на 0,03.

Решение. По условию, п=400; р=0,1; q=0,9; ε=0,03. Требуется найти вероятность Р(|т/400—0,1|≤0,03). Пользуясь формулой

Р(|т/п-р|≤ε)≈2Ф(ε ),

имеем

Р(|т/400—0,1|≤0,03)≈2Ф(0,03 )=2Ф(2).

По таблице функции Лапласа находим Ф(2)=0,4772. Следовательно, 2Ф(2)=0,9544.

Итак, искомая вероятность приближенно равна 0,9544.

Смысл полученного результата таков: если взять достаточно большое число проб по 400 деталей в каждой, то примерно в 95,44% этих проб отклонение относительной частоты от постоянной вероятности р=0,1 по абсолютной величине не превысит 0,03.