1. Ньютоновские жидкости

tgα = μ

μ₁<μ₂<μ₃

2. Неньютоновские жидкости

2 – псевдопластичные, а<1

1 – дилатантные, а>1

2 – разбавленные суспензии

1 – концентрированные суспензии

, - кажущаяся вязкость

3. Бингамовские жидкости

- предел текучести

- коэффициент пластической вязкости

τ_тр

Движение подобно ньютоновской жидкости

τ₀

Поверхностное натяжение.

Работа, необходимая для образования единицы поверхности называется межфазным или поверхностным натяжением , измеряется в н/м в системе СИ. Поверхность раздела между фазами стремится к минимуму под действием поверхностных сил, капли имеют форму, близкую к шару. Поверхностное натяжение уменьшается с увеличением температуры. Величина поверхностного натяжения влияет на смачивание капельными жидкостями твердых материалов ( фильтрование, адсорбция, конденсация).

Давление жидкостей.

Давление жидкости на единицу поверхности называется гидростатическим давлением.

р=Р /F,

где Р – сила давления жидкости на поверхность F.

Если жидкость налита в сосуд, то сила давления, действующая на его дно равна весу жидкости в сосуде:

Р= FН g,

где F – площадь дна сосуда, Н – высота столба жидкости, плотность жидкости, g – ускорение свободного падения.

Следовательно

р= Н g,

т.е. давление жидкости на дно сосуда равно весу столба жидкости высотой Н с площадью основания 1м².

Если давление над жидкостью равно р₀ то гидростатическое давление будет равно :

р = р₀ +Н g.

Давление на вертикальные или наклонные стенки сосуда не является постоянным по высоте стенки, поэтому гидростатическое давление в каждой точке сосуда рассматривается как предел отношения силы давления ΔР к элементарной площади ΔF при F стремящейся к нулю.

р =lim ΔР / ΔF

Давление направлено по нормали к площадке, на которую оно действует одинаково по всем направлениям.

Размерность давления в системе СИ [н/м² = Па].Существуют внесистемные единицы измерения давления:

Атм- давление , которое оказывает столб ртути высотой 760 мм, или столб воды высотой 10,33 м = 101 300 н/м² ( физическая атмосфера).

Ата- давление , которое оказывает столб ртути высотой 735,6 мм или 10 м водного столба = 98 100н/м² (техническая атмосфера ).

1Па=1 н/м² = 10^-5 бар.

Уравнение расхода и неразрывности потока.

Рассмотрим движение жидкости

-объемный расход;

G=ρV=ρwf – массовый (весовой) расход, кг/сек., ρ – плотность (кг/м³)

G= ρ₁w₁f₁= ρ₂w₂f₂= … =const, откуда уравнение неразрывности для сжимаемых сред: ρwf =const

Для несжимаемых сред (ρ₁= ρ₂=… =ρ= const) и имеем:

wf =const

Понятие «сплошная среда»

Силы, действующие в сплошной среде

1. Массовые силы – силы, пропорциональные массе. Сила тяжести Р=mg. Единичная массовая сила Е.М.С.= - сила, отнесенная к единице массы;имеет размерность ускорения (м/с²). Проекции единицы массовой силы на оси координат:X, Y, Z.

2. Поверхностные силы – пропорциональны поверхности.

Нормальные поверхностные силы действуют по нормали к поверхности.

Сила давления Р=рF, где р-давление [ ].

Тангенциальные поверхностные силы действуют по касательной к поверхности.

Сила трения (согласно закону Ньютона)

Р_тр= - μF_тр

Вывод основного уравнения гидродинамики

Основное уравнение гидродинамики характеризует перенос количества движения (импульса) в сплошной среде (жидкости (газе)).

Основной задачей при анализе переноса импульса является определение закономерностей (зависимостей):

p=f(x, y, z, τ); w=φ(x, y, z, τ) – нестационарный режим

p=f(x, y, z,); w=φ(x, y, z,) – стационарный режим.

Рассматриваем баланс сил в отсутствии источников количества движения в элементарном объеме dV=dxdydz

1. Массовые силы (вопрос о ее направлении решается в каждом конкретном случае).

Тогда (ЕМС)_x=X= , откуда

X·m=Xρdxdydz

2. Нормальные поверхностные силы (силы давления)

pdydz – (p+ dydz= -

3. Тангенциальные поверхностные силы (силы трения).

Рассматриваем верхнюю и нижнюю грани

H_x=τ_H·dxdy- τ_в·dxdy, где dxdy=df_тр

;

;

Тогда H_x:

τ_H·df – τ_в·df= = + + - -

μ( + + )dxdydz=μ w_xdxdydz

В соответствии со вторым законом Ньютона результирующая массовых и поверхностных сил равна силе инерции, т.к. .

В нашем случае

Xρdxdydz - dxdydz + dxdydz = F_ин

F_ин=ma=ρdxdydz , где а= - ускорение,тогда:

Xρdxdydz - dxdydz+ = ρdxdydz / :(ρdxdydz) и учитывая, что ν = преобразуем уравнение в следующий вид:

=Х + -

=У+ - Система уравнений Навье - Стокса

=Z+ -

Необходимо иметь в виду, что w_x – функция координат и времени, аналогично для w_y w_z.

Полный дифференциал равен

dw_x= dτ+ dx+ dy+ dz ,

имея в виду, что =w_x; =w_y; =w_{z ,}

делим каждое слагаемое уравнения на :

= + + + = +w_x +w_y +w_z

и аналогично для и

Основы теории гидродинамического подобия:

Существует геометрическое подобие, подобие физических параметров, временное подобие, подобие действующих сил.

Рассмотрим движение реальной жидкости под действием силы тяжести,

то есть движение вдоль оси Z.

Z- +ν( w_z)= ,

= +w_x + w_y + w_z

В нашем случае равномерное однонаправленное движение вдоль оси Z , значит ускорение а= =0, w_x=w_y=0, уравнение можно записать :

= w_z = и тогда

Z - + ν( w_z) = ; ×dz , тогда

Zdz- dz+ν( w_z) dz = ,

так как движение вдоль оси Z происходит под действием силы тяжести,

то Z= -g

+ =

: → (критерий Фруда)

: → → E_u (критерий Эйлера)

: → → → Re (критерий Рейнольдса)

Таким образом получено общее критериальное уравнение гидродинамики

- - + =1 или –F_r - E_u + =1.

Определяемым критерием является E_u (т.к. нас интересует Δр); определяющими Re и F_r, поэтому уравнение Навье- Стокса в критериальном виде можно записать:

E_u= –F_r–1, E_u=f(Re, F_r)

Cочетание базовых критериев подобия, позволяет получить новые критерии, так:

Re² F_r= = → Ga= - критерий Галилея

Ga = → Ar= - критерий Архимеда

Уравнение Бернулли

Для однонаправленного равномерного движения под действием силы тяжести Уравнение Навье –Стокса имеет вид:

+ ν( w_z)= ,

где лапласиан w_z= + + .

Распределение скоростей w_z по осям не известно, поэтому вводим понятие «идеальная жидкость», для которой =0.

Тогда =0 , разделим обе части на

=d( )=0,

откуда для идеальной жидкости

=0

Для реальной жидкости уравнение Бернулли имеет вид

= + h_п, где h_п – потерянный напор.

Вывод уравнения Дарси-Вейсбаха

Баланс сил:

Р_тр=0

Δ Р_тр=0,

где Р_тр=τ_трF_тр=τ_тр

Δ τ_тр =0→ Δ =

h_п= .

Приняли, что ~ , тогда h_п~

Ввели коэффициент пропорциональности λ – коэффициент гидравлического сопротивления.

h_п = λ - уравнение равномерного движения реальной жидкости, уравнение Дарси-Вейсбаха.

Тогда уравнение Бернулли для реальной жидкости принимает вид:

= +λ

Для ньютоновской жидкости при ламинарном режиме:

λ= ,

Re=10⁴-10⁵ λ= - формула Блазиуса

Re=10⁵-3,4·10⁶ λ=0,0032+0,221·Re^-0,237 – формула Никурадзе

Re=10⁴-2·10⁷ λ=0,16/ Re^0,16 – формула Женеро.

Для турбулентного режима =2 - 0,8 = - 2

Для автомодельного режима =2 , где ; s – высота выступов шероховатости (для новых стальных труб s=0,1мм, старых – 2мм; для чугунных s=0,25мм)

Применение Уравнения Бернулли

Расчёт простого трубопровода

Уравнение Бернулли для реальной жидкости

Н- располагаемый напор, если - движение возможно

, где - гидравлическое сопротивление прямых участков

- гидравлическое сопротивление фасонных частей

- справочная величина

- скорость движения жидкости

Для длинных трубопроводов

, тогда

Расход

1. Задан расход определить d или задан d – определить расход

- гидравлический уклон – потери напора на 1 м трубопровода

Трубопровод с непрерывным путевым и транзитным расходом

Для простого трубопровода известно, что

w= и υ =

Если на единице длины трубопровода должно отводиться υ[ ], то путевой расход υ_п=υ .

Иногда требуется, чтобы из последнего сечения уходил дополнительный поток υ_т – транзитный.

Следовательно, суммарный расход равен (υ_п+ υ_т).

Суммарный поток по длине меняется, тогда на участке dx имеем

dh_n=λ( )

и

Так как на всем отрезке пути было х отводов с расходом υ[ ], то общий расход

w= , т.е.

dh_n= dx

h_n = =

h_n=

В частном случае, когда υ_т=0 и h_n=

Когда υ_п=0 → h_n=

Истечение жидкости через отверстия

I. истечение при h =const

= +h_п

(Z₁-Z₂)=Н; =

Н= - +h_п

Истечение из бокового отверстия

[ +h]=

f₀w₂=Fw₁; w₁= w₂

Н= w²+h_n; где h_n=

2gH=[1-( )²] w²+ w² или 2gH=(1+ ) w²

w= → w=

υ= ₀w→ υ = ₀ ; =μ_p → υ = μ_{p 0}

Истечение через водослив

= =

= b (H -H )

= bh

Опыт показывает, что толщина струи под порогом соответствует максимальному расходу.

Следовательно, =0

= b ( - )=0,

но b 0.

Тогда = ; (H-h)= ; H= h или h= H

Тогда

= b = b или

= b H

Опорожнение (истечение при переменном уровне)

За время :

-d =F_cdr(м³)

d = f₀ (м³)

-F_cdr= f₀ , откуда

= =-

; ;

Истечение из донных отверстий при постоянном напоре

- скорость перемещения слоёв в сосуде

- скорость истечения

; ;

относ. к самому узкому сечению струи - коэф. сжатия струи

- к-т расхода

Характеристика реальных жидкостей.

Ньютоновские жидкости.

Сила трения между слоями жидкости может быть выражена уравнением: =μF_{тр , откуда}

τ_тр= =μ ,

где τ_тр – напряжение сдвига (касательное); - градиент сдвига.

τ_тр ;

τ_тр=μ_к( )^а а=1 для ньютоновской жидкости.

Неньютоновские жидкости. Бингамовские жидкости

τ_тр=μ_к( )^а τ_тр= τ₀+μ_п( )

Бингамовские жидкости- осадки

1 – псевдопластичные a<1,разбавленные суспензии

2 – дилатантные a>1, концентрированные суспензии

Режимы движения реальных жидкостей

Ламинарный параллельно-струйчатый режим

Турбулентный (вихревой) режим

Законы ламинарного режима.

1. Распределение касательного напряжения трения τ_тр

Р_тр= μ_к( )^аF_тр, откуда

τ_тр= =μ_к( )^а

Баланс сил Δр - τ_трF_тр=0; Δр =τ_тр , откуда

τ_тр=

при r =0→τ_тр=0

при r =R→ τ_тр= = τ_max= τ_s

2. Распределение скорости по сечению круглой трубы.

τ_тр=

μ_к( )^а = ;

( )^а =

= [ → +[

w= [ ( )

Для ньютоновских жидкостей а=1 и :

w= ( ) параболическое распределение w=f(r)

При этом [ ;

для ньютоновских жидкостей (а=1, )

w_мах=

3.Расход и средняя скорость

Изменение расхода dυ=wdf, где df=2πrdr-площадь колечка

w= [ ( )

dυ= [ ( )2πrdr

[ ( )r dr

rdr = R²= =

rdr = dr =

( )dr = ( ) = =

υ = [ = [

Для ньютоновских жидкостей (а=1, )

υ= - уравнение Пуазейля-Гагена

Средняя скорость для ньютоновских жидкостей:

w_ср= = = , тогда

=

Средняя скорость для неньютоновских жидкостей:

w_ср= [

Коэффициент гидравлического сопротивления:

Для средней скорости ньютоновской жидкости имеем

w_ср = = =

Re= → ;

w=

=

=

h_n= = ,

λ=

Для неньтоновской жидкости:

λ= , где

Re_(н.ж.)=

h_n= =λ ; = , т.е.E_u= , E_u=

Бимгамовские жидкости

Рассмотрим движение ламинарного потока и стержнеподобное ядро потока

Для ламинарного потока: r>r₀ и τ_тр> τ₀

Р_тр=F_тр τ_тр= , откуда

= ;

= - τ₀;

= ( - τ₀);

= [ - τ₀ ] при r₀ r R

w= [ (R²-r²) - τ₀(R-r)]

Видно, что при τ₀=0 → имеем распределение w=f(r) для ньтоновской жидкости.

w= [ (R²-r²)

Скорость стержня (при r = r₀):

w_ст= [ (R²-r₀²) - τ₀(R-r₀)]

Расход бингамовской жидкости

υ= υ_ст+ υ_{кольц.сеч.}

υ=πr₀² w_ст+ =πr₀² w_ст+2π [ (R²-r²) - τ₀(R-r)]rdr=

= πr₀² w_ст+ (R²-r²)rdr - (R-r)rdr

R²rdr - r³dr = R² rdr - r³dr = R²( ) - ( )

Rrdr - r²dr= R( ) - ( )

После интегрирования и подстановки значений w_ст , τ₀= r₀, r₀= и имеем:

υ= [1- ], откуда

w_ср= = [1- ( )⁴]

Коэффициент гидравлического сопротивления

+ = + , т.е. λ=f(Re= ), где C= .

Пленочное движение жидкостей

Рассмотрим гравитационное движение ньютоновской жидкости вдоль вертикальной стенки (движение только под действием силы тяжести)

Z- +ν( w_z)= ;

1. движение под действием силы тяжести: Z=+g;

2. при Z=const→dp=0→p= const: =0;

3. движение стационарное: =0

4. движение однонаправленное, т.е.

Уравнение Навье-Стокса для оси Z

=Х + - ,тогда

g +ν =0;

g + =0;

=

Интегрируем: Вводим граничные условия:

= х+С₁; при х=0; w=0 (явление прилипания)

w= х²+С₁x+C₂ при х=δ; =0

при х=0 и w=0 имеем С₂=0

при =0 - +С₁ =0 →С₁=

Тогда распределение скорости по толщине пленки равно

w= х²+ х – параболическое распределение w по толщине пленки

при х=0→ w=0

при х=δ→ w_max= + =

Средняя скорость движения пленки жидкости

Принимают dυ=dfw, где df=1м∙dx, т.е.расход на длине 1м

Тогда w_ср= = = = dx

w_ср = [- ]= ;

w_ср=

Отношение =

Расход жидкости на длине 1м

υ ₁= δ w_ср [ ] – линейная плотность орошения

υ ₁=δ , откуда δ=

Необходимо знать зависимость δ=f(Re).

Re= = , где d_экв= = =4δ_ср

Re= = , откуда

υ ₁=

δ= =

δ_ср= справедливо при Re<20 (ламинарный режим)

δ_ср= 20<Re<1600 (волновой режим)

δ_ср=0,185( ) Re^0,5 Re>1600 (турбулентный режим)

Изложенный метод применим для неньютоновских жидкостей. Так для дилатантных и псевдопластичных жидкостей

w_ср=

δ=[ V₁]

Перемещение жидкостей (поршневые и ц/б насосы)

1. Напор и мощность насосов

- манометр - вакууметр - общая геометрическая высота 1 метод определения напора

2 метод

Напор – разность удельных энергий на линии нагнетения и всасывания

Для пром. условий h=0

Мощность насоса [кВт]

Поршневые насосы

S – ход поршня F – площадь поршня FS – объём жидкости на 1 ход

- для насоса однократного действия

Насос двойного действия

Насос тройного действия – 3 насоса одинарного действия

- 2 насоса двойного действия

- кратность действия

<1 за счёт плохой работы клап. короб.

Зависимость производительности от хода поршня

Закон хода поршня

- радиус кривошипношатунного механизма

С – скорость поршня

; ; ; C=0

; ; ; C=max

Производительность

i=1	Диаграмма подачи (производительности) поршневых насосов
i=2

Недостаток поршневого насоса - неравномерность подачи геометрическая высота всасыв. поршневого насоса. Движущей силой процесса всасыв. явл. , которая расходуется

1. подъем жидкости н-а

2. преодолеть гидр. сопр.

3. инерционные потери

Гидравлический удар

- парциальное давление паров перекачив. жидкости при т-ре T

В цикле нагнетания вакуум

- конденсация паровой подушки резкое V ; t- справочник гидравлический удар. Определение инерционных потерь во всасыв.????

Сила инерции массы жидкости во всасыв. тр-де.

- закон Ньютона

a- ускорение

m

На преодоление этой силы инерции расход. часть напора насоса

1. ускорение массы жидкости в трубопроводе

Используем ур-е неразрывности

площадь всасыв. ускорение поршня

тр-да

w

Сопоставим гидр. и инерционные потери во всасыв. тр-де

~ ~

~

10м

Центробежные насосы, за счет передачи ж-ии ц/б передаем создаем напор

Вывод основного ур-я ц/б насоса

W - относительная скорость

u- окружная скорость на выходе 2

c- абсолютная скорость на входе 1

Сумма кол-ва движения равна моменту равнодейств.

сил (для 1 элемент. частицы)

- плечо на выходе

Момент на выходе - сумм. момент

Домножим на w правую и левую части

- мощность насоса

- окружная скорость

Основное ур-е ц/б насоса

Для безудержного входа жидкости на рабочее колесо,

(конструктивно)

За счет некоторого неподобия скоростей на входе и выходе лопатки появл. объемный кпд.

Производительность ц/б насоса

- радиальное сост. абсолютной

Зависимость напора от производительности

чем больше

пренебрегаем

Действительная зависимость напора от производительности

Площадь под касательной- потери на кавитацию.

Кавитация в ц/б насосе.

при - жидкость закипела

при - конденсация, микровакуум

струйка Ж бьет в обл-ть вакуума

Рабочая точка ц/б насоса

Геометрическая высота всасывания

- движущая сила подъёма жидкости на высоту Она расходуется: - на подъём жидкости на высоту - на преодоление гидравлического сопротивления всасыв. т/п ( ) - на преодоление инерционных потерь ( ) таким образом = + + , откуда - -

- определяется (лимитируется) условиями гидравлического удара

=? Сила инерции массы жидкости во всасывающем т/п

На преодоление этой силы тратится часть силы давления:

тогда

Представим это через :

Напишем уравнение неразрывности: или

, где

таким образом,

поэтому

В итоге

Сравним и

>>

Дать объяснение воздушному колпаку

Без воздушного колпака

возможно, что !

С воздушным колпаком

Рабочая точка поршневого насоса

Центробежные насосы

Вывод основного уравнения ц/б насоса

W – относительная скорость u – окружная скорость с – абсолютная скорость Сумма количества движения равна моменту равнодействующих сил ,

Но ;

; и тогда

Основное уравнение ц/б насоса

Конструктивно делают “безударный” выход, т.е.

и

Производительность ц/б насоса

Зависимость напора H от производительности

Из : , но из : или тогда:

, но

Анализ уравнения

При :

Выбор профиля лопаток рабочего колеса

25% потенциальная энергия 75% кинетическая энергия		25% кинетическая энергия 75% потенциальная энергия

мало из-зи

Действительная зависимость

Явление кавитации

Поэтому ,

Где

Частные и общая характеристики ц/б насоса

- частные характеристики

Рабочая точка центробежного насоса

Гидравлика дисперсных систем Осаждение ( витание)одиночных частиц Осаждение представляет собой процесс разделения фаз под действием силы тяжести, сил инерции или электростатических сил. Рассмотрим силы, действующие на одиночную частицу в сплошной среде (плотность и вязкость ). ,d A Rг p миделево сечение G Частица движется равномерно и прямолинейно под действием силы тяжести G На частицу действует выталкивающая архимедова сила А и ее движению препятствует сила гидравлического сопротивления Баланс сил: G=А + G= ; А= ; = рF= р ; hп= ; = ; = + ; = - = \ ; = ; Ar = Re основное критериальное уравнение процессов осаждения. Коэффициент сопротивления определяется в зависимости от режима осаждения. Lg турбулентный Ламинарный Lg Re 2 500(800) Ламинарный режим Re 2, тогда = 24/ Re Турбулентный режим Re 500(800) = 0,44 Переходный режим =10,5/ Определение скорости падения частицы Ламинарный режим = 24/ Re ; Ar = Re ; Ar =18 Re ; = 18 ; = формула Стокса. Формула применима для ламинарного режима в условиях не стесненного осаждения (концентрация твердой фазы не превышает 5% объемных).

Осаждение в поле сил тяжести (отстаивание)

Отстойник периодического действия

_{к -} концентрация твердой фазы

Составляем материальный баланс по твердой фазе:

,

причем

;

; ,

откуда

=

Но ,

где - скорость стесненного осаждения;

Производительность отстойника

V_отс( )=

Производительность отстойника зависит от F, но не от высоты

Отстойник полунепрерывного действия

Пути и Н частицы должны проходить за одно и то же время, поэтому

, откуда

-производительность отстойника; -объем отстойника

=

V_отс=b )

Некоторые конструкции отстойников непрерывного действия

колонный отстойник полочный отстойник