Нахождение частного решения неоднородного рекуррентного уравнения с помощью метода неопределенных коэффициентов
Метод неопределенных коэффициентов предназначен (как и в случае интегрирования дифференциальных уравнений) для нахождения частного решения линейного неоднородного рекуррентного уравнения (4.4) с постоянными коэффициентами. Он применим в ситуации, когда правая часть g ( n ) уравнения представляет собой некоторую сумму, слагаемыми которой служат функции натурального аргумента двух видов:
,
( 4.15 )
,
( 4.16 )
в
которых b,
- действительные числа, а d(n),
,
- полиномы относительно переменной n
с
действительными коэффициентами.
Ниже рассматривается возможность применения метода неопределенных коэффициентов, когда правая часть g (n) рекуррентного уравнения является последовательностью вида (4.15). Для правой части вида (4.16) удобнее использовать рассматриваемый в следующей главе операционный подход.
Формулировка задачи. Пусть имеется линейное неоднородное рекуррентное уравнение с постоянными коэффициентами
(
4.17 )
в котором d (n) - полином s-й степени,
.
Требуется с помощью метода неопределенных коэффициентов найти аналитическое выражение частного решения записанного уравнения.
Правила определения аналитического вида частного решения неоднородного уравнения (4.17):
1. Если b не принадлежит к корням характеристического многочлена (4.9), то частное решение будет иметь вид
,
( 4.18 )
где D (n) – полином с неизвестными (неопределенными) коэффициентами,
,
( 4.19 )
порядок которого совпадает с порядком заданного полинома d ( n ).
2. Если b - действительный корень характеристического многочлена (4.9) кратности m, то частное решение будет иметь вид
(
4.20 )
где D (n) – полином вида (4.19).
Порядок нахождения частного решения линейного неоднородного рекуррентного уравнения с постоянными коэффициентами:
1. По заданному рекуррентному уравнению (4.17) записываем характеристический многочлен (4.9).
2. Проверяем, является ли величина b корнем характеристического уравнения, и если да, то определяем его кратность m.
3. Записываем, строго придерживаясь сформулированных правил и выражений (4.18) –(4.20), аналитический вид частного решения .
4. Подставив частное решение в рекуррентное уравнение, после преобразований получаем - слева и справа от знака равенства стоят многочлены s-й степени.
5.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях натурального аргумента n,
получим систему (s+1)
уравнений относительно неизвестных
коэффициентов
6. Решая систему линейных алгебраических уравнений, определяем коэффициенты полинома (4.19) и записываем конкретный вид искомого частного решения.
Замечание. Если корни характеристического уравнения известны, то выполнение пункта 2 не вызывает трудностей. В противном случае можно предложить следующий алгоритм (не требующий вычисления корней). Сначала проверяем (посредством подстановки в характеристическое уравнение ), является ли величина b корнем. Если да, то путем последовательного дифференцирования характеристического многочлена и подстановки величины b в его производные находим порядок первой, не обращающейся в ноль, производной. Именно этот порядок и будет искомой кратностью m корня.
Нахождению с помощью сформулированных выше правил частных решений линейных неоднородных рекуррентных уравнений с различными правыми частями посвящен пример 4.3.