3.4. Распределение частиц по квантовым состояниям. Виды статистик

Одной из основных задач статистики является определение числа dn(E) частиц коллектива (например, идеального газа, находящегося в состоянии термодинамического равновесия), обладающих значениями энергии от Е до E + dE. Очевидно, что dn(E) будет равно произведе­нию числа состояний в dЕ на среднее число частиц, находящихся в каждом из этих состояний. При этом, если в классической статистике число частиц со строго определенным значением энергии равно нулю из-за наличия непрерывного набора значений энергии при конечном числе частиц, то для квантовых объектов можно говорить о числе час­тиц со строго определенным значением энергии, так как набор ее воз­можных значений дискретен.

Обычно вводится функция распределения частиц по энергиям f(Е), которая дает среднее число частиц в состояниях с энергией от Е до E + dE. Тогда dn(E) = g(E)f(E)dE. Число частиц с данной Е и разными спинами учитывается множителем (2s + 1) в выражении для плотности состояний (3.9).

Как следует из рассмотрения, проведенного в п. 3.2, характер заполнения квантового состояния фермионами и бозонами различен, что определяет различие в их функциях распределения: для бозонов - это функция Бозе-Эйнштейна (f_Б-Э), для фермионов - Ферми-Дирака (f_Ф-Д). Прежде чем заняться получением вида этих функций, вспомним классическую функцию распределения Максвелла-Больцмана:

(3.10)

полученную в предположении, что переход частиц из одного энерге­тического состояния в другое не зависит от числа частиц в конечном состоянии. Здесь Е - полная энергия частиц;  - их химический по­тенциал, равный изменению внутренней энергии системы при измене­нии числа частиц на единицу (в условиях постоянства объема и энтро­пии); k - постоянная Больцмана.

В случае бозе-частиц, как упоминалось в п. 3.2, вероятность "заполу­чить" бозон в данное состояние с энергией Е пропорциональна (n + 1), где n - число бозонов, уже находящихся в данном состоянии. Таким образом, частота перехода бозонов в результате некоторого взаимодействия в со­стояние с энергией Е будет пропорциональна 1 + f(E). Для фермионов ситуация противоположная: вследствие их подчинения принципу запре­та Паули, фермион не может перейти в квантовое состояние с данной энергией, если там уже находится другой фермион. В этом случае, по­скольку максимальное значение f_Ф-Д = 1 и, следовательно, ее можно трактовать как вероятность заполнения данного квантового состояния, частота перехода фермионов в состояние с энергией Е будет пропор­циональна 1 – f(E), т.е. вероятности того, что данное состояние свободно.

Рассмотрим столкновение двух тождественных частиц с импуль­сами , до и , после столкновения. Каждому из модулей соответствуют значения энергии E₁, E₂, E₃, E₄, но при этом следует иметь в виду, что мы рассматриваем переход из одного квантового со стояния в другое, причем, эти состояния определены именно вектором импульса, тогда как данному значению Е соответствует множество ячеек в импульсном фазовом пространстве. Таким образом, рассмат­ривая процессы перехода E₁  E₃, E₂  E₄, (или E₁  E₄, E₂  E₃, т.к. частицы тождественны), мы будем подразумевать переход из некото­рой ячейки с энергией Е₁ в некоторую ячейку с энергией Е₃. То же справедливо и для перехода E₂  E₄. Столкновения приведенного типа назовем прямыми, а E₃  E₁, E₄  E₂, отличающиеся перестановкой начального и конечного состояний, обратными.

Приведенный ниже вывод функции распределения относится к вырожденному идеальному газу тождественных частиц (как фермионов, так и бозонов), так как в случае его невырожденности распреде­ление задается функцией Максвелла-Больцмана.

Если в исходных состояниях находится среднее число частиц и , то число столкновений в единицу времени, не завися­щих от конечных состояний, пропорционально их произведению. Число столкновений с переходом в состояния с E₃, E₄ будет в случае квантовых частиц зависеть от заполнения этих конечных состояний.

Если в исходных состояниях находится среднее число частиц и , то число столкновений в единицу времени, не завися­щих от конечных состояний, пропорционально их произведению. Число столкновений с переходом в состояния с E₃, E₄ будет в случае квантовых частиц зависеть от заполнения этих конечных состояний.

Для фермионов, как уже говорилось, число таких переходов долж­но быть пропорционально вероятности того, что данные состояния свободны, т.е. произведению . Таким образом, для ферми-частиц число прямых переходов равно

(3.11)

а

(3.12)

число обратных –

Постоянная С в обоих случаях одинакова вследствие неразличимо­сти микрочастиц.

Для бозонов число столкновений также пропорционально числу час­тиц в исходных состояниях, но вероятность перехода в конечные состоя­ния, как упоминалось выше, пропорциональна заполнению этих состоя­ний, а именно, значению . В этом случае число прямых и обратных переходов задается соответственно выражениями:

(3.13)

(3.14)

Поскольку мы рассматриваем состояние термодинамического равновесия, то число прямых и обратных переходов равно. Для вывода функции объединим оба типа частиц, помня, что знак минус в квадратных скобках относится к фермионам, а плюс - к бозонам:

(3.15)

Разделив это выражение на , используя закон сохранения энергии и подставив E₄ = E₁ + E₂ – E₃, прологарифмируем его:

(3.16)

Учитывая, что энергии E₂ и E₃ для невзаимодействующих частиц не зависят от Е_1, продифференцируем это выражение по Е₁, обозначив выражения в квадратных скобках соответственно через (E₁), (E₂), (E₃), (E₁ + E₂ + E₃):

(3.17)

Дифференцируя аналогичным образом по Е₂, получаем:

(3.18)

Сравнивая полученные выражения, приходим к равенству:

(3.19)

Поскольку каждая часть данного уравнения зависит только от одного значения энергии, то обе они равны некоторой постоянной величине, а при любом значении энергии Е:

(3.20)

Интегрируя это выражение, получаем:

(3.21)

Очевидно, что при выполнении условия малой заселенности со­стояний, т.е. при << 1 выполняется условие невырожденности газа (среднее число частиц много меньше числа состояний). В этом случае квантовая функция распределения должна переходить в клас­сическую функцию Максвелла-Больцмана и, пренебрегая единицей в полученном выражении и сравнивая его с f_М-Б, получаем из следующее: ,  =1/kT.

Таким образом, имеем для функций распределения Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна, соответственно, следующие выражения:

(3.22)

(3.23)

Как и следовало ожидать, микрочастицы, распределенные по закону Ферми-Дирака, подчиняются принципу Паули, так как f_Ф-Д  1.

На рис. 3.5 представлены распределения частиц по энергиям для бозонов (Б-Э), фермионов (Ф-Д), а также классическая функция Мак­свелла-Больцмана (М-Б). Как следует из рисунка, при значениях (E - ) > 3 kT, когда единицей в квантовых распределениях можно пре­небречь, они переходят в классическое, что соответствует малому заполнению квантовых состояний, при котором коллективы микрочас­тиц становятся невырожденными.

Рис. 3.5. Вид различных функций рас­пределения частиц по энер­гиям

При низких температурах со­гласно функции распределения Б-Э на низшем энергетическом уровне (E  0) может располагаться очень большое число бозонов. Действительно, как показывает строгая теория, часть газа бозе-частиц при температурах, близких к абсолютному нулю, будет скап­ливаться на нижнем энергетиче­ском уровне, что получило назва­ние "бозе-конденсация" которая, в частности, отвечает за явление сверхтекучести гелия.