2) Моделювання тривалості часу зайнятості працівників пожежно-рятувальних підрозділів обслуговуванням викликів.

З статистичних даних середній час зайнятості пожежно-рятувальних підрозділів обслуговуванням викликів в місті _обс=0,70 год./виклик. Визначаємо параметр - інтенсивність потоку „звільнень ” підрозділів від обслуговування міста:

Імовірність того, що випадкова величина _обс буде менша за ₂ = 0,6 год., визначаємо за формулою:

Імовірність того, що величина _обс перебільшує ₃ = 1,5 год.:

Імовірність того, що величина лежить в межах від = 0,6 год. до = 1,5 години:

З розрахунків зрозуміло, що для 57,6 % викликів в місті час зайнятості підрозділів буде менше за 0,6 години; для 45,89 % - від 0,6 до 1,5 год.; для 2,4 % викликів – більше 1,5 год.

3) Математичне моделювання процесу виникнення одночасних викликів підрозділів пожежної охорони в місті.

За даними = 0,0675 викл./ год.;

= 0,7 год./ викл.

Визначаємо параметр - приведену щільність потоку викликів:

Розрахунок імовірностей того, що в будь – який момент часу підрозділи міста знаходились в стані одночасного обслуговування викликів;

- кількість випадків на рік, що очікуються, коли при виникненні чергового виклику виникає необхідність в одночасному обслуговуванні викликів:

Висновок: Дійсно, маємо імовірність виникнення в місті двох одночасних викликів пожежно-рятувальних підрозділів. Такі випадки можуть виникати 27 разів протягом року ( ), а їх загальний час 0,6 % часу ( ) – приблизно 55,2 годин на рік. Виникнення трьох одночасних викликів ( ), їх загальний час – 0,002 % часу ( ) – приблизно 0,535 години на рік.

4) Математичне моделювання процесу зайнятості підрозділів пожежної охорони обслуговуванням викликів.

Визначаємо імовірність того, що для обслуговування виклику треба залучити ту чи іншу кількість r відділень:

Розрахунок імовірності того, що в довільний момент часу обслуговуванням виклику в місті буде одночасно зайнято оперативних відділень для = 0, 1, 2, 3, ... :

Визначаємо імовірність того, що кількості відділень буде недостатньо для обслуговування викликів:

Визначемо загальну кількість відмов в обслуговуванні викликів, а також кількість повних відмов і кількість часткових відмов :

Проведені розрахунки зводимо до таблиці:

Відмови	Кількість відмов за рік при числі К оперативних відділень пожежної охорони у місті
	1	2	3	4	5
Всього	103,7989274
Повні	33,85245796
Часткові	69,94646944

За результатами розрахунків треба зробити висновки про необхідну кількість відділень на автоцистерні. Скільки по викликам на рік треба буде залучати на виїзд у місто додаткові відділення.

Завдання № 2

Система телефонного зв'язку розглядається як система масового обслуговування. Каналом обслуговування є оператор (диспетчер) разом з лінією зв'язку, по якій він здійснює прийом повідомлень (кожен оператор може здійснювати прийом повідомлення по будь-якій лінії зв'язку).

Кількість каналів обслуговування n у варіантах системи масового обслуговування, що розглядається, є:

• для варіанта 1: n = D₁ = L₁;

• для варіанта 2: n = D₂ (D₂ < L₂)•

1-й і 2-й варіанти відносяться відповідно до двох типів:

- система масового обслуговування з відмовами;

- система масового обслуговування з чергою.

Коли всі канали зайняті, повідомлення не можуть надходити в систему масового обслуговування, яка відповідає варіанту 1. Якщо в момент, коли всі канали задіяні, повідомлення надходять в систему масового обслуговування, яка відповідає варіанту 2, то воно стає в чергу на обслуговування (поки не звільняється один з операторів). При цьому кожна з ліній зв'язку (L₂ - D₂ ), по яких не приймається повідомлення на даний момент, представляє собою місце в черзі. Коли одночасно задіяні всі канали обслуговування і всі місця в черзі, повідомлення не можуть надходити в систему. Це означає відмову в обслуговуванні.

Варіант 1 є одним із випадків варіанту 2, в якому кількість місць в черзі дорівнює «0». Таким чином, у варіантах, що розглядаються, число m місць в черзі має бути:

• для варіанта 1: m = 0;

• для варіанта 2: m = L₂ - D₂.

Параметри n та m (визначені) дозволяють скласти перелік варіантів можливого стану n-канальної системи масового обслуговування з m місцями в черзі (Е₀, Е₁, Е₂, …, Е_n) і пронумерованих по кількості повідомлень, що знаходяться в системі масового обслуговування (котрі обслуговуються або знаходяться в черзі):

• Е₀ - всі канали та місця в черзі вільні;

• E_k (k = 1, 2, 3,..., n) - задіяні k каналів; черги немає;

• E_k (k=n+1, п+2,… n+m) - задіяні всі n каналів; n - m - повідомлень чекають в черзі.

Сукупність можливих варіантів стану системи масового обслуговування та переходи між ними, що припускаються, відображаються у вигляді графа:

Рис. 3

Зображені в колах вершини графа відповідають варіантам стану системи. Лінії графа зв'язують вершини, між якими можливі безпосередні переходи в напрямку стрілок. Якщо в деякий момент часу система знаходиться в стані Е_k, в якому одночасно обслуговується певна кількість S повідомлень, то з цього стану можливі два переходи: перехід вправо в стан Е_k+1 у випадку надходження чергового повідомлення (щільність переходу λ), або перехід вліво в стан Е_k-1 у випадку закінчення обслуговування однієї з S заявок (щільність таких переходів дорівнює S/t_обс). Момент надходження повідомлень в систему масового обслуговування і протяжність часу їх обслуговування є випадковими, тому і процес роботи системи (знаходження системи в тому чи іншому стані) має випадковий характер, якому властиві імовірні закономірності.

Імовірність знаходження системи масового обслуговування Р_k в будь-яку мить в певному стані Е_k визначається за формулами Ерланга:

- для к=1, 2, 3, …, n

- для к=n+1, n+2, …, n+m

де “α” - приведена щільність потоку повідомлень, яка показує середню кількість повідомлень, що надходять в систему на інтервалі часу, який дорівнює середньому часу обслуговування одного повідомлення.

Розрахунок параметру α здійснюється за формулою:

З метою перевірки розрахунків імовірності Р_k використовується співвідношення між ними:

Відмічається, що для n-канальної системи масового обслуговування з відмовами (варіант 1) сукупність можливих варіантів стану складає Е₀, Е₁, Е₂, ... Е_n (тому що m=0). При знаходженні імовірності P₀ за формулою визначається тільки сума, яка знаходиться в перших дужках і має (n+1) складових.

Характеристика ефективності системи обох типів, що розглядаються, визначаються за формулами:

1. Імовірність відмови повідомленню в обслуговуванні Р_відм (середня частота повідомлень, що не були обслуговувані в потоці повідомлень):

Р_відм=Р_n+m

2. Відносна пропускна спроможність системи масового обслуговування (середня частота повідомлень, які обслуговувались системою в потоці повідомлень):

q=1-P_відм

2. Абсолютна пропускна способність системи “1” (середня кількість повідомлень, яку спроможна обслужити система за одиницю часу):

А=λ·q (повідомл./од.часу)

2. Середня тривалість інтервалів часу між послідовними моментами виникнення відмов в обслуговуванні Т_відм:

Відбір раціонального варіанту побудови системи телефонного зв’язку (системи мосового обслуговування) треба проводити з урахуванням бажання досягти щонайвищої ефективності системи, яка виявляється в низькому значенні Р_відм і високих значеннях велечин q, A, Т_відм та з урахуванням прагнення до зменшення витрат, що примушує обмежуватися достатнім рівнем ефективності (наприклад, вимогою того, щоб Р_відм < 0,001), і шукати економічно доцільні шляхи його досягнення.

Приклад № 2

46; 1,4; 4; 4; 2; 5.

хв./повідомл. = 0,027 год./повідомл.

повідомл./добу = 6,75 повідомл./год.

Приведена густина потоку повідомлень визначається за формулою:

Структура аналізуємих варіантів 1 та 2 системи телефонного зв'язку схематично має вигляд:

Варіант 1

Варіант 2

д е: О - оператори;

- лінії зв'язку.