3.5. Расчет системы на минимум дисперсии ошибки
Пусть структурная схема системы имеет вид, как показано на рис. 2.
Передаточная
функция разомкнутой системы равна
,
где KC
–искомый параметр, оптимальное значение
которого требуется найти, T=0,5K
– постоянная времени системы.
Рис. 2. Структурная схема системы
На входе системы
действуют случайные не коррелированные
между собой сигналы: полезный сигнал
(этот сигнал система должна воспроизвести
без искажений на выходе) и случайная
помеха
(которая
тоже попадает на выход системы и искажает
выходной сигнал).
Ошибка системы
.
При расчете
системы следует добиваться того, чтобы
сигнал
был минимальным (в идеальном случае
).
Передаточные
функции замкнутой системы, связывающие
ошибку с полезным входным сигналом -
и ошибку с помехой -
,
имеют вид:
,
(23)
.
(24)
При действии на входе системы полезного сигнала и помехи ошибка системы определяется формулой
.
(25)
При отсутствии корреляции между полезным сигналом и помехой спектральная плотность ошибки системы может быть подсчитана по формуле
.
(26)
Для определения дисперсии ошибки воспользуемся формулой
,
где
(27)
Расчеты по этой
формуле следует проводить, пользуясь
выражением (22) и таблицами интегралов
(см. прил. 1).
Для определения
среднего значения ошибки следует
воспользоваться (25), в которую подставить
вместо
и
математические ожидания случайных
сигналов
и
,
а в передаточные функции вместо
подставить
:
.
При расчете системы
на минимум дисперсии ошибки следует
искать такое значение варьируемого
параметра KC,
при котором
.
3.5.1. Расчет составляющей среднего квадрата ошибки, определяемой полезным сигналом.
Из (27) имеем:
(28)
П
одынтегральное
выражение должно быть представлено в
форме (см. приложение 1):
Спектральная плотность полезного сигнала представлена в формуле (14)
Вводим обозначения:
Используя полученные коэффициенты записываем формулу для I3 (прилож. 1).
3.5.2. Расчет составляющей среднего квадрата ошибки, определяемой помехой.
Из (27) имеем:
(29)
Спектральная плотность помехи равна (14)
.
Подынтегральное выражение в формуле (29) представляем в виде
Вводим обозначения:
Используя полученные коэффициенты определяем формулу для I2 (прил. 1).
3.5.3. Расчет оптимального значения коэффициента усиления системы KC
Средний квадрат ошибки управления равен
.
Дисперсия ошибки равна
.
Построив график зависимости Dх от коэффициента KC определяем оптимальное значение коэффициента KC, соответствующее минимуму дисперсии ошибки. Программа расчета в пакете MATLAB приведена в прил.2. Имя программы – dx.m
Л и т е р а т у р а
Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования. - М.: Наука, 1972. - 767 с.
Приложение 1
ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ
,
где
,
.
.
.
.
.
,
.
Приложение 2
Программа Rst.m
'Расчет и построение графика статистической корреляционной функции'
G=[1.8 1.85 1.52 1.25 1.05 .84 .8 .76 .71 .5...
.4 0 -.21 -.35 -.56 -.8 -.92 -1 -1.4 -1.2 ...
-.97 -.92 -.84 -.81 -.6 -.52 -.5 -.42 -.51 -.6 ...
-.64 -.82 -.8 -.65 -.28 -.15 .25 .4 .38 .27 ...
.15 0 -.1 -.32 -.5 -.62 -.6 -.54 -.4 -.2...
-.12 0 .54 1 1.2 1.4 1.5 1.6 1.7 1.74...
1.8 1.72 1.65 1.54 1.42 1.3 1.2 1.02 .95 .84...
.52 .26 0 -.12 -.24 -.25 -.46 -.83 -1.05 -1.24...
-1.63 -1.85 -1.94 -2.02 -1.96 -1.85 -1.74 -1.67 -1.63 -1.25...
-.86 -.25 0 .53 .72 1.24 1.46 1.55 1.64 1.72...
1.7 1.6 1.4 1.3 .95 .8 .9 1.2 1.1 .85...
.5 .34 .28 .12 0 -.2 -.45 -.56 -.8 -.92...
-.95 -1.1 -1.3 -1.1 -.8 -.56 -.44 -.24 -.1 -.2...
-.34 -.11 0 .15 .4 .5 .55 .62 .48 .32...
.45 .56 .71 .85 .9 .92 .93 .9 .78 .5...
.2 .14 .08 .05 -.11 -.23 -.4 -.5 -.7 -.7...
-.8 -.9 -1.1 -.8 -.5 -.3 -.1 0 .1 .25...
.38 .56 .72 .8 .82 .85 .81 .74 .65 .63...
.61 .45 .38 .23 .15 .16 .21 .25 .25 .26...
.35 .5 .7 .8 .9 1.1 1.2 1.2 1.12 .9];
K=input('Введите значение K=')
for j=1:200;
KG(j)=G(j).*K;
end
i=1:200;
'KG(i)'
KG(i)
for k=1:1:40;
S(k)=0;
for i=1:1:200-k;
S(k)=S(k)+KG(i).*KG(i+k);
end
R(k)=S(k)./(200-k);
end
for k=1:200
S1(k)=0;
S1(k)=S1(k)+KG(k);
end
'Среднее значение случайного процесса равно:'
KGcp=S1(k)./200
k=1:40;
R(k)
plot(R);grid
title(' R*(t)')
Программа RstR.m
'Построение корреляционной функции и аппроксимирующей кривой в одних координатах'
G=[1.8 1.85 1.52 1.25 1.05 .84 .8 .76 .71 .5...
.4 0 -.21 -.35 -.56 -.8 -.92 -1 -1.4 -1.2 ...
-.97 -.92 -.84 -.81 -.6 -.52 -.5 -.42 -.51 -.6 ...
-.64 -.82 -.8 -.65 -.28 -.15 .25 .4 .38 .27 ...
.15 0 -.1 -.32 -.5 -.62 -.6 -.54 -.4 -.2...
-.12 0 .54 1 1.2 1.4 1.5 1.6 1.7 1.74...
1.8 1.72 1.65 1.54 1.42 1.3 1.2 1.02 .95 .84...
.52 .26 0 -.12 -.24 -.25 -.46 -.83 -1.05 -1.24...
-1.63 -1.85 -1.94 -2.02 -1.96 -1.85 -1.74 -1.67 -1.63 -1.25...
-.86 -.25 0 .53 .72 1.24 1.46 1.55 1.64 1.72...
1.7 1.6 1.4 1.3 .95 .8 .9 1.2 1.1 .85...
.5 .34 .28 .12 0 -.2 -.45 -.56 -.8 -.92...
-.95 -1.1 -1.3 -1.1 -.8 -.56 -.44 -.24 -.1 -.2...
-.34 -.11 0 .15 .4 .5 .55 .62 .48 .32...
.45 .56 .71 .85 .9 .92 .93 .9 .78 .5...
.2 .14 .08 .05 -.11 -.23 -.4 -.5 -.7 -.7...
-.8 -.9 -1.1 -.8 -.5 -.3 -.1 0 .1 .25...
.38 .56 .72 .8 .82 .85 .81 .74 .65 .63...
.61 .45 .38 .23 .15 .16 .21 .25 .25 .26...
.35 .5 .7 .8 .9 1.1 1.2 1.2 1.12 .9];
K=input('Введите значение K=');
for j=1:200;
KG(j)=G(j).*K;
end
for k=1:1:40;
S(k)=0;
for i=1:1:200-k;
S(k)=S(k)+KG(i).*KG(i+k);
end
R(k)=S(k)./(200-k);
end
tau2=input ('Введите tau2=');
beta=pi./(2*tau2)
x=R(1).*cos(6.*beta);
y=R(6).*cos(beta);
mu=0.2.*log(x./y)
R0=R(1)./(exp(-mu).*cos(beta))
for k=1:1:40;
z(k)=R0*exp(-mu*k)*cos(beta*k);
end
k=1:1:40;
plot(k,z,'k-', k,R,'k:');grid
legend 'R*(t), ---R(t)'
Программа Dx.m
'Построение графика зависимости дисперсии ошибки от коэффициента Kc'
K=input('Введите K=');
T=input('Введите T=');
fi=input('Введите fi=');
Df=input('Введите Df=');
R0=input('Введите R0=');
mu=input('Введите mu=');
beta=input('Введите beta=');
KGcp=input('Введите среднее значение сигнала KGcp(t)=');
Kc=0;dKc=0.01;
i=1;
while i<2000;
a01=T; a11=2.*mu.*T+1+Kc; a21=T.*(mu.^2+beta.^2)+2.*mu.*(1+Kc);
a31=(1+Kc).*(mu.^2+beta.^2); b01=2.*mu.*R0.*T.^2;
b11=-2.*mu.*R0.*((mu.^2+beta.^2).*T.^2+1); b21=2.*mu.*R0.*(mu.^2+beta.^2);
a02=T; a12=T.*fi+1+Kc; a22=fi.*(1+Kc);
b02=0; b12=2.*Df.*fi.*Kc.^2;
I3=(-a21.*b01+a01.*b11-a01.*a11.*b21./a31)./(2.*a01.*(a01.*a31-a11.*a21));
I2=(-b02+a02.*b12./a22)./(2.*a02.*a12);
x(i)=Kc;
Dx(i)=I3+I2-(KGcp./(1+Kc)).^2;
i=i+1;
Kc=Kc+dKc;
end;
plot(x,Dx);grid