1.5. Формула повної ймовірності і формула Баєса

Нехай подія А може наступити за умови появи однієї з несумісних подій , , , . . . , , які утворюють повну групу, відомі ймовірності цих подій та умовні ймовірності , , , . . . , події А.

Теорема. Ймовірність події , яка може наступити лише за умови появи однієї з несумісних подій , , , . . . , , які створюють повну групу, дорівнює сумі добутків ймовірностей кожної з цих подій на відповідну умовну ймовірність події А.

. (1.15)

Рівність (1.15) називається формулою повної ймовірності.

Приклад. Економіст вважає, що ймовірність зростання вартості акцій деякої компанії наступного року дорівнюватиме 0,75, якщо економіка країни буде на підйомі; і ця ж ймовірність дорівнюватиме 0,30, якщо економіка країни не буде успіш­но розвиватися. На його думку, ймовірність економічного підйому в новому році дорівнює 0,80. Використовуючи припущення економіста, оцініть ймовірність того, що акції компанії піднімуться в ціні наступного року.

Розв’язання. Визначимо події:

А = {Акції компанії зростуть в ціні у наступному році}.

Подія А може статися лише разом із од­нією з гіпотез:

= {Економіка країни буде на підйомі};

= {Економіка країни успішно не розвиватиметься}.

Відомі ймовірності цих подій та умовні ймовірності події А:

= 0,80; = 0,20.

= 0,75; = 0,30.

Гіпотези утворюють повну групу, сума їх ймовірностей дорівнює 1. Розглянемо подію А — це або , або . Події та — несумісні попарно. Події і А, і А — залежні.

Вищевикладене дозволяє застосувати для визначення шуканої ймовірності події А форму­лу повної ймовірності

= 0,80 · 0,75 + 0,20 · 0,30 = 0,66.

Знову розглянемо події які утворюють повну групу подій і попарно несумісні. Ці події називатимемо гіпотезами. Подія А може відбутись одночасно з деякою із подій Відомі ймовірності подій та умовні ймовірності того, що подія А відбудеться. Відомо, що в результаті випробування подія А відбулась. Потрібно з огляду на це переоцінити ймовірності гіпотез Для цього застосовують формулу Баєса:

. (1.16)

Замінивши за формулою (1.15), отримаємо

_.

Приклад. Економіст вважає, що протягом періоду активного економічного зростання американ­ський долар зростатиме в ціні з ймовірністю 0,70, в період помірного економічного зростання він зросте з ймовірністю 0,40 і при низьких темпах економічного зростання долар подорожчає з ймовірністю 0,20. Протягом будь-якого періоду часу ймовірність активного економічного зростання — 0,30; помірного економічного зростання — 0,50 і низько­го зростання — 0,20. Передбачимо, що долар дорожчає протягом поточного періоду. Чому дорівнює ймовірність того, що аналізований період збігся з пері­одом активного економічного зростання?

Розв’язання. Визначимо події:

А = {Долар дорожчає}.

Вона може статися лише разом з однією із гіпотез:

= {Активне економічне зростання};

= {Помірне економічне зростання};

= {Низьке економічне зростання}.

Відомі апріорні ймовірності гіпотез і умовні ймовірності події А:

= 0,30, = 0,50, = 0,20, = 0,70, = 0,40, = 0,20.

Гіпотези утворюють повну групу, сума їх ймовірностей дорівнює 1. Подія А — це або , або , або . Події , або та — несумісні попарно. Потрібно знайти уточнену (післядослідну, апостеріорну) ймовірність першої гіпотези, тобто необхідно знайти ймовірність активного економічного зростання, за умови, що долар дорожчає (подія А вже сталася), тобто

Використовуючи формулу Баєса (1.16) і підставляючи задані значення ймовірностей, маємо