Вывод формулы для косвенных измерений момента инерции тела с учетом момента тормозящей силы

Рассмотрим систему тело-груз в начальный момент времени, когда груз находится на отметке , а в качестве конечного выберем тот момент времени, когда груз опустился до нижней отметки , соответствующей полной длине нити. Опять будем исходить из энергетического соотношения (4.1).

Для выбранных начального и конечного состояний получим

, (4.7)

где - момент тормозящей силы (4.6);

- угол поворота тела, соответствующий перемещению груза от отметки до (4.4).

Начальная механическая энергия системы тело-груз равна

. (4.8)

Конечная механическая энергия системы складывается из кинетической энергии вращательного движения тела и кинетической энергии поступательного движения груза в момент прохождения им отметки :

,

где - момент инерции тела;

- угловая скорость вращения тела в момент (см. рис. 4.1);

- скорость поступательного движения груза в момент .

Строго говоря, в процессе движения груз за счет упругого растяжения нити опускается чуть ниже отметки , тормозится нитью, а затем за счет упругого сжатия нити возвращается на эту отметку.

Предполагая, что движение системы является равноускоренным, для скорости груза на отметке получаем

, (4.10)

где - время, за которое груз опустится от отметки до .

Угловая скорость вращения тела в тот же момент времени равна

, (4.11)

где - радиус шкива, на который намотана нить.

Подставляя (4.7), (4.8), (4.9) в (4.1), получим

.

Из этой формулы, учитывая (4.4), (4.10) и (4.11), выражаем момент инерции :

, (4.12)

где - момент тормозящей силы, который вычисляется по формуле (4.6).

Получение формул для определения погрешностей косвенных измерений момента тормозящей силы и момента инерции тела

Методика получения оценок истинных значений величин и погрешностей при прямых и косвенных измерениях описана в [1]. При выполнении данной лабораторной работы прямыми будут являться измерения длины и времени . Остальные величины, входящие в рабочие формулы (4.6) и (4.12), измеряются заранее и их истинные значения с указанием погрешностей приведены в таблице исходных данных, помещенной около экспериментальной установки.

Выполнив прямые многократные измерения величин и (см. задание к работе) и проведя их статистическую обработку по методике, описанной в [1], найдите и для выбранного значения доверительной вероятности. Эти величины будут в дальнейшем использованы для оценки истинного значения и погрешности при косвенных измерениях.

Подставляя в рабочую формулу (4.6) истинные значения всех аргументов, получим оценку истинного значения момента тормозящей силы:

, (4.13)

где черта над величиной означает «оценка истинного значения».

Абсолютная погрешность косвенных измерений величины определяется формулой, приведенной в [1]

С помощью этой формулы, взяв частные производные по всем аргументам, получаем

В формулу (4.14) входят пять квадратичных членов, вклад каждого из них в погрешность величины не одинаков. Поэтому, чтобы упростить вычисления, прежде чем применять эту формулу, необходимо оценить вклад каждого квадратичного слагаемого и оставить в формуле только наибольшие. Эта оценка, кроме того, позволит выявить те величины, точность измерения которых определяет точность получаемого результата.

Оценку истинного значения величины момента инерции тела, определяемого в опытах с помощью формулы (4.12), получим, подставив в нее истинные значения входящих аргументов:

. (4.15)

Абсолютная погрешность косвенных измерений величины определяется формулой, приведенной в [1].

.

С помощью этой формулы, взяв частные производные по всем аргументам, получаем

В формулу (4.16) входит шесть квадратичных членов. Один из них (пятый) связан с погрешностью величины , которая определяется формулой (4.14). Как было сказано выше, прежде чем применять формулу (4.16) необходимо оценить вклад каждого квадратичного слагаемого, сохранив только наибольшие.