1.3. Застосування множин, гомеоморфних множині Кантора

Основна мета цього підрозділу – показати, що множини типу Кантора (гомеоморфні множині Кантора) знаходять своє відображення в різних галузях науки, їхні властивості застосовуються не тільки при розв’язуванні математичних задач, але й при дослідженні фізичних процесів та явищ, для визначення структури природних об’єктів і тощо.

Приклад 1. Застосування С при дослідженні структури помилок в лініях передачі даних.

Канал передачі — це деяка фізична система, здатна передавати електричний сигнал. Проте електричний струм, на жаль, не вільний від спонтанних шумів. Якість передачі залежить від вірогідності виникнення помилок, обумовлених шумовими спотвореннями, які, у свою чергу, залежать від відношення інтенсивності сигналу і шуму. Якщо піддати помилки аналізу з поступово зростаючою точністю (тобто кожний етап ґрунтуватиметься на паузах і пакетах, в три рази коротших, ніж попередні), то дана процедура припускатиме існування такого поняття, як відносне розташування пакетів помилок -го рангу усередині пакету -го рангу. Розподіл ймовірності цих відносних розподілів, очевидно, не залежить від . Ясно, що така інваріантність говорить про самоподібність. Доведення фрактальної розмірності такого розподілу можна знайти в [25].

Приклад 2. Кільця Сатурна. Вважалося, що Сатурн оточений одним суцільним кільцем. Потім була відкрита щілина, що розділяє кільце, потім ще одна, і, нарешті, «Вояджер-1» знайшов величезну кількість таких щілин, в більшості своїй дуже вузьких. «Вояджер» також встановив, що кільця прозорі: вони пропускають сонячне світло. Таким чином, структура кілець являє собою, очевидно, сукупність близько розташованих кіл, причому радіус кожного з цих кіл відповідає відстані від деякої точки відліку до деякої точки канторового пилу. Спеціальна назва для такої множини -декартовий добуток канторового пилу на коло.

Приклад 3. Спектри. Хартер в своїй книзі „Theory of hyperfine and superfine links in symmetric polyatomic molecules” описує спектри деяких органічних молекул; схожість цих спектрів з канторовим пилом приголомшує.

Приклад 4. Зв’зок з елементарною функцією. Ми розглянемо можливість отримання пилу Кантора за допомогою нелінійного перетворення. Нам вже відомо, що класичний пил Кантора інваріантний при перетвореннях подібності, якщо коефіцієнт подібності має вигляд 3 . Ця самоподібність є, безумовно, дуже важливою властивістю, проте її недостатньо для визначення С. Навпаки, ми можемо повністю визначити множину С як найбільшу обмежену множину, інваріантну при наступному нелінійному перетворенні:

, де .

Якщо точніше, то ми багаторазово повторюємо це самовідображення дійсної осі, при цьому початкове значення «розмите» по осі , а остаточні значення зводяться до точки і пилу Кантора С. Нерухомі точки і х = 3/4 належать С. Доведення цього факту можна знайти зокрема в [25].

Ми розглянули вже досить чималу кількість прикладів множин типу Кантора. Рисунок 1.8 допомагає краще уявити форму пилу Кантора за допомогою розміщення його серед решти пилоподібних множин з N=2 і змінним значенням . На вертикальній осі відкладається або саме значення , що змінюється і інтервалі від 0 до 1/2 (справа), або розмірність в інтервалі від 0 до 1 (зліва). Верхня межа обох штор — це повний інтервал [0,1]. Будь-який горизонтальний зріз на кожному з малюнків є яким-небудь пилом Кантора (стрілками показані значення і ).

Рис. 1.8.