5.1.2. Числові множини. Множина дійсних чисел

Множини, елементами яких є числа, називаються числовими. Прикладами числових множин є :

- множина натуральних чисел;

={ 0 ;1;2; . ; ,.}- множина цілих невід’ємних чисел;

={0; ±1; ±2; .; ± ; .} – множина цілих чисел;

={ : , }- множина раціональних чисел.

- множина дійсних чисел.

Між цими множинами існує співвідношення.

Множина R містить раціональні і ірраціональні числа. Всяке раціональне число виражається або скінченним десятковим дробом або нескінченним періодичним дробом. Так =0,5(=0,500.) =0,333. - раціональні числа.

Дійсні числа, що не є раціональними, називаються ірраціональними.

Теорема 13.1. Не існує раціонального числа, квадрат якого рівний числу 2.

□ Припустимо, що існує раціональне число, представлене нескоротним дробом , квадрат якого рівний 2. Тоді маємо :

= 2, тобто

Звідси випливає, що (а значить, і ) – парне число, тобто . Підставивши в рівність , отримаємо , тобто . Звідси витікає, що число – парне, тобто . Але тоді дріб дорівнює скоротим . Це суперечить припущенню, що дріб скорочується. Отже, не існує раціонального числа, квадрат якого рівний числу 2. ■

Ірраціональне число виражається нескінченним неперіодичним дробом. Так =1,4142356.. p = 3,14155926. - ірраціональні числа. Можна сказати : множина дійсних чисел є множина всіх нескінченних десяткових дробів. І записати

Множина дійсних чисел володіє наступними властивостями.

Вона впорядкована : для будь-яких двох різних чисел і має місце одне з двох співвідношень або .

Множина щільна : між будь-якими двома різними числами і міститься нескінченна множина дійсних чисел x, тобто чисел, що задовольняють нерівності .

Так, якщо , то одним з них є число

і

3.Множина неперервна. Нехай множина розбита на два непорожні класи і таких, що кожне дійсне число міститься тільки в одному класі і для кожної пари чисел і виконано нерівність . Тоді ( властивість неперервності) існує єдине , яке задовольняє нерівності Воно відділяє числа класу від чисел класу . Число є або найбільшим числом в класі ( тоді в класі немає якнайменшого числа ), або якнайменшим числом в класі ( тоді в класі немає найбільшого ).

Властивість неперервності дозволяє встановити взаємно-однозначну відповідність між множиною всіх дійсних чисел і множиною всіх точок прямої. Це означає, що кожному числу відповідає певна ( єдина ) точка числової осі і, навпаки, кожній точці осі відповідає певне ( єдине ) дійсне число. Тому замість слова « число» часто говорять « точка».

5.1.3. Числові проміжки. Окіл точки

Нехай і – дійсні числа, причому .

Числовими проміжками (інтервалами ) називають підмножини всіх дійсних чисел, що мають наступний вигляд :

– відрізок (сегмент, замкнутий проміжок );

– інтервал ( відкритий проміжок );

- напіввідкриті інтервали ( або напіввідкриті відрізки );

;

;

– нескінченні інтервали ( проміжки ).

Числа і називаються відповідно лівим і правим кінцями цих проміжків. Символи і не числа, це символічне позначення процесу необмеженого видалення точок числової осі від початку 0 вліво і управо.

Н ехай – будь-яке дійсне число (точки на числовій прямій ). Околом точки називається будь-який інтервал _, що містить точку . Зокрема, інтервал , де , називається - околом точки . Число називається центром, а число - радіусом.

рис. 97

Якщо , то виконується нерівність , або, що те ж . Виконання останньої нерівності означає попадання точки в -околі точки .(див. рис. 97)