5.6. Параметры зацепления, составленного из эвольвентных колес, нарезанных со смещением исходного контура

Угол зацепления и межосевое расстояние при беззазорном зацеплении

Рис. 5.11

Начальные окружности диаметров и (рис. 5.11) перекатываются друг по другу без скольжения, следовательно, окружные шаги зубьев по дугам начальных окружностей (начальные окружные шаги ) для обоих колес одинаковы и равны

; (5.29)

также одинаковы для обоих колес углы профиля на начальных окружностях - они равны углу зацепления .

Если в зацеплении возможен свободный поворот одного из колес при неподвижном парном колесе, то говорят, что имеет место зацепление с боковым зазором. Очевидно, что при беззазорном зацеплении (зацеплении без бокового зазора) толщина зуба по дуге начальной окружности каждого из колес равна ширине впадины парного колеса, т.е. и . Но поскольку , то условие, при соблюдении которого зацепление двух колес является беззазорным, принимает вид

. (5.30)

Тогда согласно (5.23)

; (5.31)

. (5.32)

Подставляя (5.29), (5.31) и (5.32) в (5.30), из полученного выражения найдем

, (5.33)

или, принимая во внимание формулу (5.15),

. (5.34)

Равенства (5.33) и (5.34) определяют угол зацепления , при котором колеса, имеющие делительные толщины зубьев и (или нарезанные при коэффициентах смещения и ) зацепляются без бокового зазора; указанные равенства равносильны.

Сумму коэффициентов смещения в (5.34) часто обозначают, как и называют коэффициентом суммы смещений.

Таким образом, из формулы (5.34) (или (5.33)) находят угол беззазорного зацепления .

Межосевое расстояние связано с углом зацепления формулой (5.7); из нее следует, что

, (5.35)

или с учетом (5.14)

. (5.36)

Таким образом, межосевое расстояние при беззазорном зацеплении можно найти из (5.36), если в нее подставить , найденное с помощью (5.33) или (5.34).

В дальнейшем будем считать, что при отсутствии дополнительных указаний межосевое расстояние рассчитывают, исходя из беззазорного зацепления.

Диаметры окружностей вершин колес (диаметры вершин)

Рис. 5.12

Поверхность вершин зубчатого колеса (в отличие от поверхности впадин) не обрабатывается при нарезании зубьев и диаметр вершин может назначаться в некоторых пределах произвольно.

Выбор значений диаметров окружностей вершин и влияет на высоты зубьев и и на радиальные зазоры в зацеплении и (рис. 5.12).

Высоту зуба каждого из колес пары можно найти по формуле

. (5.37)

Радиальные зазоры у впадин первого (и соответственно второго) колеса

(5.38)

В связи с этим отметим, что существуют две наиболее распространенные системы расчета (или выбора) диаметров вершин, которые обеспечивают:

 независимую от коэффициентов смещения постоянную высоту зуба обоих колес пары, равную высоте зуба стандартного реечного контура (рис. 5.6), т.е.

;

в этом случае

,

или, учитывая формулу (5.17),

. (5.40)

 независимые от коэффициентов смещения постоянные (стандартные) радиальные зазоры у впадин обоих колес пары

;

в этом случае диаметры вершин необходимо рассчитывать по формулам

(5.41)

Отметим, что если нет никаких прямых указаний, следует пользоваться формулами (5.41). Также полезно знать, что при нулевом значении коэффициента суммы смещений ( , или ) расчеты по формулам (5.40) и (5.41) приводят к одинаковым результатам.

Положение нижней точки активного профиля

Сопряженные профили во время зацепления перекатываются и одновременно скользят друг по другу; при этом их контактная точка перемещается по линии зацепления – прямой , касательной к основным окружностям зацепляющихся колес (рис. 5.13).

Рис. 5.13

Точки контакта могут возникать и существовать только в той части линии зацепления, которая расположена внутри окружностей вершин (эту ее часть называют активной линией зацепления - на рисунке показана двойной линией). Части сопряженных профилей зубьев, по которым происходит их взаимодействие во время зацепления, называют активными профилями (изображены также в виде двойных линий). У каждого колеса активный профиль зуба ограничен двумя точками - верхней (кромкой зуба) и нижней.

На рис. 5.13 показан момент пересопряжения зубьев – начала или окончания взаимодействия какой-либо пары профилей; в этот момент верхняя точка одного (в данном случае - второго) активного профиля контактирует с нижней точкой другого.

При проектировании передачи крайне важно уметь определять положение нижней точки активного профиля. Из того же рис. 5.13 можно найти

; (5.42)

тогда можно утверждать, что активный профиль зуба колеса расположен между двумя концентрическими окружностям диаметров и

; (5.43)

из (5.42) и (5.43) нетрудно получить аналогичные формулы для парного колеса :

; (5.44)

. (5.45)

Рис. 5.14

На рис. 5.14 показана структура профиля зуба эвольвентного колеса. Здесь AB – теоретическая эвольвента, а AL - фактическая; LF – переходная кривая; AP – активный профиль зуба.

Естественно, что активный профиль зуба у любого колеса, используемого в зацеплении, должен быть частью эвольвентного; это означает, что для каждого из колес, образующих пару, должно соблюдаться неравенство , или

. (5.46)

Нарушение неравенства (5.46) недопустимо. Опускание точки P по теоретической эвольвенте ниже точки L приведет к так называемой интерференции, при которой кромка одного зуба стремится контактировать с воображаемой (находящейся под переходной кривой) частью теоретической эвольвенты другого.

Проверка условия (5.46) имеет смысл только для колеса с неподрезанными зубьями, т.е. при .

Коэффициент перекрытия

На рис. 5.15 изображена пара взаимодействующих зубьев в двух положениях – в момент начала их участия в зацеплении в точке и в момент окончания – в точке .

С момента входа какого-либо зуба в зацепление до момента выхода из него каждое из колес пары повернется на так называемый угол перекрытия и . Если каждый из этих углов равен угловому шагу соответствующего колеса, т.е.

, , (5.47)

Рис. 5.15

то каждая пара профилей входит в зацепление именно в тот момент, когда предыдущая пара (т.е. пара, ранее вступившая в контакт) выходит из зацепления.

Для того, чтобы процесс зацепления па-ры колес был непрерывным, необходимо, очевидно, чтобы каждая новая пара профилей вступала в контакт до выхода из зацепления предыдущей пары; это возможно только при .

Отношение одинаково для обоих колес, его обозначают и называют торцовым коэффициентом перекрытия; поскольку углы поворота зацепляющихся эвольвентных колес пропорциональны перемещению контактной точки по линии зацепления, то

. (5.48)

Для прямозубых колес вместо обозначения обычно используют символ  и в названии термина опускают слово «торцовый».

Можно показать, что для любого колеса пары

, (5.49)

тогда, с учетом (5.42), (5.44) и (5.47), коэффициент перекрытия

. (5.50)

Подытоживая сказанное, отметим, что коэффициент перекрытия характеризует непрерывность и плавность зацепления пары; теоретически работа передачи возможна при , но на практике считают, что передача спроектирована верно, если для нее .

Характерные точки активных профилей зубьев и линии зацепления

На рис. 5.16 показан активный профиль колеса и соответствующая активная линия зацепления пары с коэффициентом перекрытия (т.е. при длине активной линии зацепления ).

Рис. 5.16

Если считать колесо в этой паре ведущим, то на рисунке показан момент входа в зацепление изображенного зуба в точке линии зацепления.

Поскольку расстояние по линии зацепления между соседними контактными точками равно основному шагу , то при контактировании профилей на участке другая (соседняя) пара профилей обязательно будет взаимодействовать на участке линии зацепления. Следовательно, точки и (построение точек понятно из рисунка) выделяют на линии зацепления, и на сопряженных профилях так называемые зоны двупарной ( и - на рисунке выделены двойными линиями) и однопарной ( ) работы зубьев.

Отметим, что при однопарной работе зубьев его рабочая поверхность испытывает наибольшие контактные напряжения.