Перехідний пароцес в rl-колі

Розглянемо перехідний процес при вмиканні котушки з параметрами R, L на постійну напругу U.

Рис. 1

Після комутації кола, схема якого показана на рис. 1, рівняння складене за другим законом Кірхгофа для миттєвих значень напруг має вигляд:

Струм під час перехідного процессу

де і_вим — вимушена складова струму, яка дорівнює струму у колі після закінчення перехідного процесу,

і_в — вільна складова струму, яка є загальним розв’язком диференційного рівняння

Характеристичне рівняння

Корінь характеристичного рівняння

Вільна складова струму

Сталу інтегрування А визначаємо для моменту t = t(0₊) з врахуван­ням того, що струм в індуктивному елементі i(0₋) = i(0₊) = 0:

Звідси і розв’язок рівняння має вигляд:

Тут — стала часу кола з параметрами L та R. Оскільки L визначено в генрі, а R — в омах, то тобто стала τ має розмірність часу.

Отже, перехідний струм при вмиканні котушки з параметрами R та L на постійну напругу U визначається рівнянням:

Миттєве значення напруги, на резисторі

Напруга на ідеальному індуктивному елементі L

Рис. 2

Часові залежності і(t), и_R(t), и_L(t) показані на рис. 2. 3 рисунка видно, що в перший момент після комутації струм у колі дорівнює нулю і вся напруга U прикладена до елемента L. Через час t = 3∙τ напруга на резисторі и_R = 0,95∙U, а напруга на елементі L и_L = 0,05∙U. Перехідний процес проходить без небезпечних стрибків струму чи напруги.

Перехідний процес в rс-колі

Проаналізуємо процес вмикання RС-кола на постійну напругу (рис. 3) за наведеним порядком розрахунку:

Рис. 3

За законом Кірхгофа для напруг для контуру, утвореного після замикання ключа К, маємо

Оскільки

тоді

Характеристичне рівняння

Корінь характеристичного рівняння

де ― стала часу.

Тоді вільна складова напруги на ємності

де А ― стала інтегрування.

В усталеному режимі для післякомутаційного кола

i = 0, u_C = E,

тобто вимушена складова

u_C.вим = E.

Тепер напругу на ємності для будь-якого моменту часу можна знайти як суму вільної і вимушеної складових:

Незалежними початковими умовами для цього кола є напруга на ємності в момент t = (0₊), тобто безпосередньо після комутації. За другим законом комутації

u_C(0₊) = u_C(0₋),

тобто можна знайти напругу

u_C(0₋) = U₀

на ємності С, до якої вона була заряджена в докомутаційному колі. Отже,

u_C(0₊) = u_C(0₋) = U₀.

Підставляємо:

U₀ = A + E,

Звідки

A = U₀ − E.

Остаточний розв’язок:

У схемі рис. 3 можливі такі режими:

1. Режим при U₀ = 0. Тоді

Це режим вмикання незарядженого конденсатора на постійну напругу Е. Напруга експоненціально зростає від нуля до Е (рис. 4, а), струм при t = 0 стрибком зростає до і потім експоненціально спадає до нуля (рис. 4, б).

Рис. 4

2. Режим при Е = 0. Тоді

Це вільний режим у RС-колі, при якому конденсатор, заряджений до напруги U₀, повністю розряджається з розвитком перехідного процесу (рис. 5, а). Струм і_С змінює напрям, стрибком зростає до значення і експоненціально спадає до нуля (рис. 5, б).

Рис. 5

3. Режим при Е > U₀. Тоді конденсатор заряджається від напруги U₀ до Е (рис. 6, а), а струм стрибком зростає від нуля до і спадає до нуля (рис. 6, б).

Рис. 6

4. Режим при Е < U₀. Тоді конденсатор розряджається від U₀ до Е (рис. 7, а), а струм змінює знак, стрибком зростає до значення і експоненціально спадає до нуля (рис. 7, б).

Рис. 7