II часть определенный интеграл

1. Вычисление определенного интеграла

Определенные интегралы вычисляются по формуле Ньютона-Лейбница , где - первообразная для функции . Особенность заключается в том, что если производится замена переменной, то нет необходимости возвращаться к первоначальной переменной, а нужно, соответствующим образом, изменить пределы интегрирования в новом интеграле.

;

.

Пример 1.

Введем замену: .

При , при .

Тогда .

Пример 2.

Пусть .

При , при .

Тогда .

Примеры 3 решаются очень легко при помощи формул:

;

.

Пример 3.

.

Примеры №4 – несобственные интегралы.

В тех вариантах, где даны конечные пределы интегрирования, следует обратить внимание на то, что подынтегральные функции разрывны на заданных отрезках.

Пример 4

Здесь подынтегральная функция обращается в бесконечность на правом конце отрезка .

Поэтому .

2. Методические указания к заданиям на приложения определенного интеграла

2.1 Геометрические приложения

Чтобы подготовить себя к решению задач на вычисление площади фигуры, длины дуги, объема тела вращения нужно повторить соответствующие формулы, уравнения линий, наиболее часто встречающихся в приложениях и познакомиться с решением ниже следующих примеров, которые дают представление о характере ваших индивидуальных заданий и о методике их решения. (В процессе решения задач приводятся все необходимые формулы).

Пример 1.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

.

Замечаем, что первая линия есть парабола (график функции ), проходящая через начало координат и направленная ветвями вниз . Вторая линия – прямая (рис 1.).

Нужно вычислить площадь заштрихованного криволинейного треугольника .

Д ля этого необходимо найти абсциссы точек и , в которых пересекаются данные линии.

Решая систему уравнения ,

, находим , .

Следовательно, по геометрическому толкованию определенного интеграла, получим:

кв.ед.

Аналогично решаются задачи в индивидуальных заданиях №№ 7-32, 16-32, 17-32, 19-32, 20-32, 22-32, 25-32, 26-32, 29-32. В каждом из них искомая площадь представляется как разность площадей двух фигур.

В некоторых задачах одна из линий задается параметрическими уравнениями.

Пример 2.

Пусть требуется вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

.

Первая из них эллипс с полуосями , (рис. 2). Прямая отсекает от эллипса треугольник . Его площадь есть разность площадей криволинейной трапеции под дугой и прямоугольника с основанием . Ввиду симметрии фигуры относительно оси имеем:

, где - абсцисса точки .

Из уравнения находим ; ; .

Таким образом .

Сделаем в последнем интеграле замену переменной , новые пределы интегрирования , , так как , получаем:

.

Аналогично решаются задачи №№ 1-32, 2-32, 3-32, 4-32, 8-32, 9-32, 15-32, 18-32, 23-32, 27-32.

Пример 3.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли .

С лемнискатой Бернулли вы уже встречались при изучении линий в полярной системе координат (рис. 3). Она целиком заключена между лучами и .

Симметричны относительно полярной оси и оси, ей перпендикулярной.

Поэтому, пользуясь известной вам формулой , находим:

(кв.ед.).

Аналогично решаются задачи №№ 5-32, 6-32, 10-32, 11-32, 12-32, 13-32, 14-32, 24-32, 28-32.

Пример 4.

Найти длину астроиды , . (1)

С астроидой вы знакомились при изучении линий, заданных параметрическими уравнениями. Она симметрична относительно осей , (рис.4).

Точка описывает дугу в первой четверти при изменении параметра от 0 до (значению отвечает , значению соответствует ).

Вследствие отмеченной симметрии исковая длина определяется равенством: , где интеграл выражает длину дуги.

Из равенства (1) находим:

;

; .

Следовательно, имеем:

(ед.)

Аналогично решаются примеры №№ 10-33, 11-33, 12-33, 13-33, 14-33, 20-33, 21-33, 22-33, 25-33, 26-33, 29-33, 30-33.

Пример 5.

Вычислить длину кардиоиды .

С линией такого вида вы уже встречались (рис. 5). Она симметрична относительно полярной оси. Точка описывает верхнюю половину кардиоиды при изменении полярного угла от 0 до . Поэтому для искомой длины получаем .

Так как , то

0.

(ед.).

Аналогично решаются примеры №№ 1-33, 2-33, 3-33, 4-33, 7-33, 8-33, 9-33, 15-33, 16-33, 17-33, 18-33, 19-33, 23-33, 27-33.

Пример 6.

Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями:

(2)

Первая из линий есть парабола вида , вторая – прямая (рис. 6). Искомый объем найдется как разность объемов , тел, образованных вращением вокруг оси прямолинейной и криволинейной трапеции (под прямой и под параболой).

Из системы уравнений (2) находим абсциссы точек , .

; .

Имеем (разрешив уравнение прямой относительно ):

.

Для объема получаем:

Таким образом: (куб.ед.).

По такому же образцу решаются задачи №№ 1-34, 2-34, 3-34, 4-34, 6-34, 7-34, 8-34, 9-34, 10-34, 11-34, 12-34, 13-34, 14-34, 15-34, 17-34, 18-34, 19-34, 20-34, 21-34, 22-34, 23-34, 24-34, 25-34, 26-34, 27-34, 29-34, 30-34.

Пример 7.

В ычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной эллипсом , (рис. 7).

Искомый объем найдется по формуле .

Сделаем в интеграле замену переменной . При изменении переменной на отрезке параметр изменяется от значения

до значения (при , при ).

Так как , то получаем:

(куб.ед.).

Аналогично решаются задачи №№ 5-34, 16-34, 28-34.