2.5. Нахождение дробных корней

Исходим из следующего утверждения: если целочисленный приведенный (!) многочлен имеет рациональный корень, то этот корень будет целым числом. В самом деле, пусть есть несократимая дробь и является корнем уравнения ,то есть . Умножим обе части уравнения на : , откуда имеем: , то есть несократимая дробь равна целому числу (сумме целых чисел), что невозможно. Значит, доказательством от противного установлено, что несократимая дробь не может быть корнем приведенного (!) целочисленного уравнения (многочлена).

Если имеется целочисленный не приведенный многочлен , то можно получить приведенный многочлен, умножив исходный многочлен на и сделав замену : ,

.

Многочлен - целочисленный и приведенный (!); если он имеет рациональные корни, то они целые и содержатся в качестве делителей свободного члена , то есть , откуда , что может быть как целым, так и дробным числом. Итак, для нахождения всех рациональных (дробных и целых) корней неприведенного целочисленного многочлена нужно его превратить в приведенный (!) (умножив на и сделав замену ), найти все целые корни этого приведенного уравнения и разделить каждый из них на старший коэффициент исходного многочлена.

Пример 2.6. Найти рациональные корни многочлена

.

Решение. Умножая на ( ) и делая замену ( ), получим:

, то есть ; ; значит, есть корень уравнения ; проверим его кратность: , ; значит, корень простой; делим на разность по схеме Горнера:

	1	5	3	45	-54
с=1	1	6	9	54	0

Следовательно, , где . Делителями свободного члена будут числа: ; ; ; ; ; ; ; . , . Заметим, кстати, что положительных корней многочлен не имеет. Пусть , тогда ; пусть , тогда ; пусть , тогда , ; стало быть, корень многочлена . Испытаем этот корень по схеме Горнера и заодно получим некое квадратное уравнение, корни которого сразу же и оценим.

	1	6	9	54
с=-6	1	0	9	0

Таким образом, , что говорит о том, что остальные два корня комплексные. Итак, у=1;-6, откуда получаем: ; .

Ответ: .

Упражнения 2.5. Найти рациональные корни целочисленных многочленов:

а). ,

б). ,

в). ,

г). ,

д). ,

е). ,

ж). ,

з). .

§3. Общий подход к решению уравнений высших степеней

Если изложенные ранее методы не позволяют решить некоторое уравнение, то возникает вопрос: имеет ли данное уравнение действительные корни вообще? Из следствий основной теоремы алгебры вытекает, что уравнение нечетной степени имеет по крайней мере один действительный корень. В случае уравнения четной степени вопрос остается открытым. Число действительных корней в уравнении (многочлене) однозначно устанавливается с помощью так называемой последовательности Штурма, построение которой описано в приложении 2. Это построение бывает достаточно громоздко, поэтому имеет смысл использовать более простые способы, которые зачастую решают задачу. Например, всегда можно построить график многочлена третьей степени с помощью производной, что и решает задачу о числе действительных корней в данном многочлене.

Вопрос о верхней границе числа корней в уравнении (многочлене) решает теорема Декарта: число действительных положительных корней в уравнении

(3.1) a_nx^­­­­­ⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀=0

с учетом их кратности равно числу перемен знаков (W⁺) в системе коэффициентов a_i (i⁰) или меньше этого числа на четное число; коэффициенты, равные нулю, не учитываются, и все коэффициенты в уравнении предполагаются вещественными, причем a_n>0.

Пример 3.1. Сколько положительных корней в уравнении

3x⁴+6x³+10x²-2x-24=0 ?

Решение. Система знаков коэффициентов уравнения a_i суть: (+, +, +, -, -); стало быть, в наличии одна смена знака, то есть W⁺=1, а потому и положительный корень в уравнении только один.

Ответ: x_i>0, i=1.

Если в уравнении (3.1) вместо ”x” подставить (-x), то получим систему знаков для определения количества отрицательных корней исходного уравнения. Так, в примере (3.1) при замене “x” на (-x) имеем следующую систему знаков: (+, -, +, +, -); стало быть, имеем три смены знаков, то есть W^-=3, что означает наличие в уравнении числа отрицательных корней, равного трем или одному.

Неопределенность в количестве действительных корней возникает из-за возможного наличия комплексно сопряженных корней.

Уточнить количество действительных корней в уравнении помогает иногда теорема Гюа: если уравнение имеет все действительные коэффициенты и все его корни действительны, то квадрат каждого не крайнего коэффициента этого уравнения больше произведения двух его соседних коэффициентов (предшествующего и последующего), то есть

(3.2) a_k²>a_k-1*a_k+1 при k=n-1, n-2, …, 1.

Пример 3.2. Доказать, что уравнение

x⁵+3x⁴+2x³+4x²-7x+4=0

имеет комплексные корни.

Решение. Согласно теореме Гюа имеем совокупность неравенств:

Так как второе неравенство ложно, то не все корни исходного уравнения являются действительными; стало быть, комплексные корни в исходном уравнении есть.

Ответ. x=i, где i=

Замечание. Теорема Гюа содержит только необходимое условие; если оно выполняется, то заключение о существовании всех корней как действительных зачастую может и не иметь места. Так, в примере (3.1) из уравнения 3x⁴+6x³+10x²-2x-24=0 согласно теореме Гюа имеем следующую совокупность неравенств:

Все неравенства верны, но никакого заключения о наличии всех корней уравнения как действительных сделать нельзя.

Когда наличие действительных корней в уравнении установлено, то можно определить интервал, в котором они располагаются, по теореме Лагранжа, а именно: пусть в уравнении (3.1)

a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀=0, a_n>0,

A – наибольшая из абсолютных величин отрицательных коэффициентов, a_k – первый из отрицательных коэффициентов (подсчет «k» ведется слева направо, причем первый член уравнения считается нулевым, то есть k1), тогда любой положительный корень уравнения удовлетворяет оценке:

(3.3) 0<x<1+(A/a_n)^1/k.

Так, в уравнении примера (3.1) 3x⁴+6x³+10x²-2x-24=0 имеем: A=|-24|=24, a_n=3, k=3; что дает оценку для положительного корня уравнения: 0<x<1+(24/3)^1/3=3, 0<x<3. Таким образом, произошло как бы отделение корня в интервал (0;3), при этом N₀=3 считается верхней границей положительных корней исходного уравнения. Для определения нижней границы отрицательных корней уравнения f(x) используем многочлен f(-x), для которого ищем верхнюю положительную границу корней N₂, значение которой с противоположным знаком будет служить нижней границей отрицательных корней многочлена f(x). Для уравнения примера (3.1) имеем: f(x)=3x⁴+6x³+10x²-2x-24, f(-x)=3x⁴-6x³+10x²+2x--24, 0<-x<1+24/3=9, 0<-x<9, -9<x<0.

Если согласно теореме Лагранжа указываются границы, между которыми содержаться действительные корни уравнения, то этим вовсе не утверждается, что такие корни на самом деле есть. Стало быть, вначале надо определить наличие действительных корней в уравнении (как положительных, так и отрицательных), а потом уже искать интервалы, в которых они находятся.

После установления количества действительных корней в уравнении (пусть пока и с избытком) имеет смысл построить график или просто таблицу исходного многочлена по легко просчитываемым точкам (0; 1; 2; …), входящим в интервалы расположения корней. В ряде случаев это дает полезную информацию. Так, для многочлена из примера (3.1) f(x)=3x⁴+6x³+10x²-2x-24 имеем: f(0)=-24, f(1)=-7, f(2)=108; что дает “заужение” отделения этого корня до интервала (1;2), в котором многочлен меняет знак (раньше отделения корня приходилось на интервал (0;3)). Далее, f(-1)=-20, f(-2)=20, что дает в интервале (-1; -2) по крайней мере один отрицательный корень.

Пример 3.3. Отделить отрицательные корни многочлена

f(x)=x⁵+2x⁴-5x³+8x²-7x-3.

Решение. Система знаков для отрицательных корней суть: (-, +, +, +, -); стало быть, количество отрицательных корней 2 или 0 (W^-=2). f(0)=-3, f(-1)=18; стало быть, в интервале (-1;0) может быть по крайней мере один отрицательный корень; далее: f(-2)=83, f(-3)=144, f(-4)=-39; стало быть, в интервале (-4;-3) находится второй отрицательный корень.

Ответ: x₁<0, x₁(-1; 0); x₂<0, x₂(-4; -3).

Пример 3.4. Решить уравнение

=x³-12x+18.

Решение. ОДЗ: 4х-х²0, х(4-х)0, х(х-4)0.

0 - 4 х

х[0;4].

Далее используем графическую иллюстрацию задачи. Пусть у₁=у₂, где

у₁= представляет собой верхнюю часть полуокружности, расположенной в верхней полуплоскости (у₁0); центр полуокружности смещен на две единицы от начала координат (у₁²=4х-х², х²-4х+4-4+у₁²=0, (х-2)²+у₁²=2). у₂=х³-12х+18 представляет собой график многочлена третьей степени.

у

у₂=х³-12х+18

²

у₁=

_{-5 -4 -2 2} х

Исследуем этот график в области определения задачи с помощью производной. у₂=3x²-12, y₂=0, 3x²-12=0, x²-4=0, x_1,2=2. В область определения задачи попадает только х=2. у₂=6х, sgn у₂(2)=12>0  min у₂= у₂(2)=8-24+18= =2. Как видим, max у₁ совпадает с min у₂; стало быть, х=2 есть решение задачи.

Сделаем некоторые замечания о многочлене третьей степени, рассматривая его при хR. Во-первых, имеем по крайней мере один действительный корень многочлена нечетной степени. Так как Ф⁺ (смена знаков при х>0) равно двум, то положительных корней у многочлена 2 или их нет вовсе. Так как Ф^- (смена знаков при х<0 (-, +, +)) равно 1, то и отрицательный корень у многочлена один. Из решенной задачи следует, что, кроме min у₂=у₂(2)=2, есть еще экстремум в точке х=-2. sgn у₂(-2)=-12<0  max y₂=у₂(-2)=34. Стало быть, как это видно из рисунка, многочлен имеет только один отрицательный корень, расположенный в интервале (-5; -4), так как у₂(-4)=-64+48+18=2, а у₂(-5)=-125+60+18=-47. Исследованный многочлен целочисленный, приведенный, неполный, целых рациональных корней не имеет. Если сдвинуть график многочлена на две единицы вниз, то у полученного вновь многочлена х³-12х+16 будет три действительных корня, один из которых кратный ({-4; 2; 2}).