Удельный вес воздушных судов, прибывших без опоздания по сравнению с расписанием за 1991-2001 гг.

(сглаживание методом конечных разностей)

Год	Удельный вес прибытий, % У,	Условное обозначение времени t	Разности		Выравненные значения У.
			Д"»	Д<21
1991	91,6	-5		—	91,6
1992	91,5	-4	-0,1	-	91,4
1993	91,3	-3	-0,2	-0,1	91,3
1994	91,1	-2	-0,2	0	91,1
1995	91,0	-1	-0,1	0,1	91,0
1996	, 90,8	0	-0,2	-0,1	90,8
1997	90,6	1	-0,2	0	90,6
1998	90,4	2	-0,2	0	90,4
1999	90,2	3	-0,2	0	90,2
2000	90,0	4	-0,2	0	90,1
2001	89,9	5	-0,1	0,1	89,9
Итого	998,4	0	-1,7	0,0	998,4
Среднее Качение у	90,76 - -0,17

Способом конечных разностей получили уравнение, выражающее тенденцию динамики данного в ряде процесса:

Метод наименьших квадратов при расчете параметров поли­номов. Этот метод при моделировании рядов динамики можно рас­сматривать как некоторый прием получения оценки детерминирован­ной компоненты^), которая характеризует тренд изучаемого явления.

В экономике часто применяется функция вида:

(10.31)

Отсюда а„, а,, йу ..., а находятся методом наименьших квадратов, сущность которого нам известна из регрессионного анализа.

Согласно этому методу для нахождения параметров полинома р-й степени необходимо решить систему так называемых нормаль­ных уравнений:

(10.32)

где л-число членов в ряду динамики; (^ж 1,2,..., и.

Система (10.32), состоящая из р уравнений, содержит в качестве известных величины Zy, 1,yt, ..., lyf, т.е. суммы наблюдаемых значе­ний уровней динамического ряда, умноженные на показатели временя в степени 0,1,2, ...,р, ир-неизвестных величин а,. Решение этой систе­мы относительно a,, a,,..., а и дает искомые значения параметров.

444

Системы для расчета параметров полиномов невысоких степеней намного проще. Обозначим последовательные параметры полиномов как а ^а ' ^av Тогда системы нормальных уравнений для оценивания параметров прямой (у, ° Оц + а, () примут вид:

(10.33)

для параболы 2-го порядка

(10.34)

Решение системы (10.33) относительно искомых параметров а,, и о,:

Аналогичным путем можно было бы подойти и к системе (10.34). Однако такой путь расчета параметров достаточно трудоемок, если он не выполняется с помощью пакета прикладных программ. Поэто-^ перейдем к упрощенным приемам расчета параметров, примене-чие которых дает ощутимую экономию труда без какой-либо потери точности результатов.

Упрощенный расчет параметров уравнений заключается в пере-чосе начала координат в середину ряда динамики. В этом случае уп-Р°1Цаются сами нормальные уравнения, кроме того, уменьшаются "^лютные значения величин, участвующих в расчете. В самом деле, ^{сли д0} переноса начала координат / было равно 1,2,3,..., п, то после

445

переноса / = ... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,..., если число членов ряда нечетное (табл. 10.10). Когда же число ряда четное (табл. 10.17), то ( = ..., -5, -3, -1, 1, 3, 5, ... Следовательно, £( и все ъу, у которых/? -нечетное число, равны 0. Таким образом, все члены уравнений, со­держащие Е/ с такими степенями, могут быть исключены. Системы нормальных уравнений теперь упрощаются для прямой:

"<1

(10.35)|

для параболы второго порядка:

(10.36)

Решая системы (10.35), (10.36) относительно неизвестных пара­метров, получим величины параметров соответствующих полиномов.

Параметр о, выражает начальную скорость роста, а коэффициент а^ - постоянную скорость изменения прироста. Если уровень явления растет с ускорением, то величина этого ускорения в среднем за изуча­емый период равна 2а, единицам.

При сглаживании ряда динамики по экспоненте (у = a e"'¹) для определения параметров применяется метод наименьших квадратов к логарифмам исходных данных. Так, для нахождения параметров экспоненты необходимо решить следующую систему уравнений:

(10.37)

Если Z? ~ 0, то параметры уравнения Iga, и Ige, находим по фор-J мулам:

446

Экспонента отражает постоянный относительный рост, равный

^•i единицам.

Пример. Рассмотрим аналитическое выравнивание по прямой пяда динамики урожайности зерновых культур в хозяйстве за 1987-

2001 гг.

Исходные данные и расчет параметров уравнения прямой пред­ставлены в табл. 10.11.

Для выравнивания данного ряда по прямой используем уравне­ние^ = а о⁺ а/. Расчет параметров уравнения проведем по упрощен­ному методу, т.е. £f = 0. В нашем примере число исходных данных

Таблица 10.11