6. Решение систем линейных дифференциальных уравнений 1-го
порядка методом повышения порядка
Нормальная система двух линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка имеет вид:
(30)
где х – независимая переменная, y(x) и z(x) – неизвестные функции, f1(x) и f2(x) – известные функции a1, a2, b1, b2 – коэффициенты. Общее решение системы (30) имеет вид:
,
где С1 и С2 – произвольные постоянные.
Для решения системы (30) методом повышения порядка необходимо исключить одну из неизвестных функций. Для этого можно выразить одну из функций, например, z(x), из одного уравнения системы:
, (31)
продифференцировать
ее и подставить z
и
во второе уравнение системы. После
упрощения получаем дифференциальное
уравнение 2-го порядка вида
.
После получения его решения
,
следует,
используя (31), найти вторую неизвестную
функцию:
и записать ответ.
Если в системе (30) коэффициенты a1, a2, b1, b2 – постоянные, то в результате применения метода повышения порядка получается линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами:
,
решение которого рассмотрено в п.5.
Пример использования метода повышения порядка для решения системы двух линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка приведен в образце выполнения контрольной работы.
Примерный вариант и образец выполнения
РГЗ №4
Задача
1. Дано
дифференциальное уравнение 1-го порядка:
и точка
.
Определить тип дифференциального
уравнения. Найти общее решение
дифференциального уравнения, уравнение
интегральной кривой, проходящей через
точку М и
уравнения еще 4-х интегральных кривых.
Построить все эти кривые в системе
координат.
Задача
2. Дано
дифференциальное уравнение 1-го порядка:
Определить тип дифференциального
уравнения и найти его общее решение.
Задача
3. Дано
дифференциальное уравнение 2-го порядка:
и начальные условия:
Определить тип дифференциального
уравнения и найти его частное решение,
удовлетворяющее заданным начальным
условиям.
Задача
4. Дано
дифференциальное уравнение 2-го порядка:
.
Определить тип
дифференциального уравнения и найти
его общее решение, используя метод
вариации произвольных постоянных.
Задача
5. Дано
дифференциальное уравнение 2-го порядка:
.
Определить тип
дифференциального уравнения и найти
его общее решение, используя метод
неопределенных коэффициентов.
Задача
6. Дана
система линейных дифференциальных
уравнений 1-го порядка:
Найти общее решение системы методом
повышения порядка.
Решение
задачи 1.
Данное дифференциальное уравнение
– уравнение с разделяющимися переменными.
Заменим
на
и разделим переменные, умножая обе
части уравнения на
.
Интегрируя полученное равенство, получим:
откуда
.
Заменяя
,
запишем общее решение данного уравнения:
.
Найдем
уравнение интегральной кривой, проходящей
через точку
,
т.е. частное решение, удовлетворяющее
заданному начальному условию:
Для этого подставим в общее решение
вместо x,
y
числа
соответственно:
.
Подставляя найденное значение С
в общее
решение, получим искомое частное решение
(уравнение интегральной кривой, проходящей
через точку М):
.
Найдем уравнения еще нескольких интегральных кривых.
П
остроим
все эти кривые в системе координат
(рис.1).
Ответы: ; ,
Интегральные кривые изображены на рис.1.
Решение
задачи 2.
Данное дифференциальное уравнение
– это уравнение Бернулли, где
.
Применим подстановку
,
тогда
Подставив значения y
и
в уравнение, получим
,
или
(***)
Найдем
функцию
решая уравнение
.
Проинтегрируем левую и правую части этого уравнения:
при
соответствующем подборе
получаем
– частное решение уравнения
.
Подставляя
найденную функцию
в (***), получим дифференциальное уравнение
для функции u:
или
.
Найдем функцию – общее решение этого уравнения:
,
откуда
Общим решением исходного уравнения является функция
.
Ответ:
.
Решение
задачи 3.
Данное дифференциальное уравнение
– это дифференциальные уравнения 2-го
порядка, не
содержащие независимой переменной x.
Полагаем
= p(y),
тогда
и уравнение примет вид:
Решая
первое уравнение, получим:
– первое семейство решений. Оно не
удовлетворяет начальному условию
Второе
уравнение
есть уравнение с разделяющимися
переменными. Разделим переменные,
заменяя
на
и проинтегрируем:
где
.
Производя обратную
замену p
=
,
получим дифференциальное уравнение
1-го порядка относительно неизвестной
функции y:
Это уравнение с разделяющимися переменными. Прежде чем его интегрировать, целесообразно определить значение постоянной С1, используя начальные условия (y = 3, = 2 при х = 1):
Подставив
значение
в дифференциальное уравнение, получим:
Разделяя переменные и интегрируя, найдем
Здесь
использовано:
.
Определим
значение постоянной С2,
соответствующее начальному условию
y(1)
= 3:
Отсюда
искомое частное решение, удовлетворяющее
заданным начальным условиям (решение
задачи Коши):
.
Получим частное решение уравнения, выразив y(x):
Ответ:
Решение задачи 4. Данное дифференциальное уравнение – это линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение имеет вид . Найдем его в 2 этапа.
1
этап. Построим общее решение
соответствующего однородного уравнения
.
Составим для него характеристическое
уравнение
и найдем его корни:
По таблице 1 определим вид его общего
решения
2
этап. Построим частное решение
данного неоднородного уравнения при
помощи метода вариации произвольных
постоянных. Здесь
,
т.е.
,
тогда частное решение
будем искать в виде
.
Составим условиям вариации согласно (24):
Поделив
оба уравнения почленно на
,
получим систему с неизвестными
и
:
Для решения этой системы можно использовать метод исключения. Выразим из первого уравнения и подставим во второе:
затем
найдем
Переходим к интегрированию:
(константы интегрирования считаем равными нулю).
Тогда
,
и общее решение
.
Ответ:
.
Решение задачи 5. Данное дифференциальное уравнение – это линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение имеет вид . Найдем его в 2 этапа.
1
этап. Построим общее решение
соответствующего однородного уравнения
Составим для него характеристическое
уравнение
и найдем его корни:
По таблице 1 определим вид его общего
решения
2
этап. Построим частное решение
данного неоднородного уравнения при
помощи метода неопределенных коэффициентов.
В заданном уравнении
– правая часть 2-го специального вида:
,
где
.
Числа
,
тогда, согласно (29), частное решение
будем искать
в виде:
где А и В – неизвестные постоянные. Подставим в данное неоднородное уравнение:
Сократим
обе части тождества на
и приравняем коэффициенты при cos3x
и при sin3x
в левой и правой частях тождества.
Решая
полученную систему двух уравнений с
двумя неизвестными, находим
Подставив найденные значения А
и В
в выражение
,
получим частное решение неоднородного
уравнения:
Объединяя результаты 2-х этапов, запишем ответ – общее решение данного уравнения.
Ответ:
Решение задачи 6. Для решения системы методом повышения порядка исключим из нее одну из функций – z(x).
Выразим
z(x)
из первого уравнения системы:
, продифференцируем
ее:
и подставим z
и
во второе уравнение системы:
.
После упрощения получаем дифференциальное уравнение 2-го порядка:
.
Общее решение этого уравнения имеет вид . Найдем его в 2 этапа.
1
этап. Построим общее решение
соответствующего однородного уравнения
.
Составим для него характеристическое
уравнение
и найдем корни:
– корни комплексные сопряженные. Здесь
,
тогда по таблице 1 определим вид общего
решения однородного уравнения:
.
2
этап. Построим частное решение
неоднородного уравнения. Здесь
– правая часть 1-го специального вида:
,
где
,
n
= 1. Число
не совпадает с корнями характеристического
уравнения
,
тогда, согласно (28), частное решение
будем искать
в виде:
,
где А, B – неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.
Найдем производные и подставим в неоднородное уравнение , при этом для простоты используем следующую форму записи:
(здесь слева от черты записаны коэффициенты, с которыми входят в уравнение). Приравниваем левую и правую части уравнения после подстановки в него :
.
Приравнивая коэффициенты при х1 и при х0 в обеих частях тождества, получаем:
откуда
находим: A
= –1, B
= 4. Подставляя найденные значения в
,
получим:
.
Объединяя
результаты 2-х этапов, получаем общее
решение уравнения
:
.
Найдем вторую неизвестную функцию:
Ответ: