Вычисление вероятности события a по формуле полной вероятности. Вычисление вероятности одной из гипотез по формуле Байеса. Задача № 5.
В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовлены отлично, 4 – хорошо, 2 – удовлетворительно и 1 – плохо. Имеется 20 вопросов, причем: отлично подготовленный студент может ответить на все, хорошо подготовленный – на 16, удовлетворительно подготовленный – на 10 и плохо подготовленный – на 5. Найти вероятность того, что случайно выбранный студент
а) сможет ответить на доставшийся ему вопрос;
б) студент плохо подготовлен и ему просто повезло с вопросом.
Решение.
№ |
Алгоритмы |
Конкретное соответствие задания заданному алгоритму |
1 |
Ввести
обозначение для заданных величин и
вычислить верятности по классической
формуле P(A)=m/n,
учитывая, что
|
1. Дать описание всех гипотез H1, H2, … , Hn, на которые можно разбить пространство элементарных исходов и события A. Н1 –студент отличник, Н2 – студент учится на «хорошо», Н3 – студент учится удовлетворительно, Н4 – студент плохой, А – вопрос «хороший». 2. Вычислить вероятность каждой гипотезы P(H1), P(H2),…,P(Hn) P(Н1) = 0.3 (3 из 10), P(Н2) = 0.4 (4 из 10), P(Н3) = 0.2 (2 из 10), P(Н4) = 0.1 (1 из 10). 3. Вычислить условную вероятность события A по каждой гипотезе P(A/H1), P(A/H2), ... , P(A/Hn). P(А/Н1) = 1, P(А/Н2) = 16/20 = 0.8, P(А/Н3) = 10/20 = 0.5, P(А/Н4) = 5/20 = 0.25. Найти а) P(А) и б) P(Н4/А) |
2 |
Найти формулу для этого случая |
Пространство элементарных событий разбито на 4 непересекающиеся области, поэтому пользуемся формулой полной вероятности для вычисления Р(А):
и формулой Байеса для вычисления Р(Н4/А):
а)
б) |
;
;
.
Алгоритм № 6
Вычисление вероятностей числа успехов в независимых повторных испытаниях по формуле Бернулли
Задача № 6. Вероятность того, что отремонтированный телевизор выдержит нормативную нагрузку, равна 0.9. Найти вероятность того, что из 7 телевизоров, находящихся в ремонте, испытания выдержат: а) ровно 5; б) не менее 5; в) хотя бы один; г) не более 5.
Решение:
№ |
Алгоритмы |
Конкретное соответствие задания заданному алгоритму |
1 |
Ввести обозначение для заданных величин |
n – число испытаний m – число телевизоров, выдержавших испытания р – вероятность выдержать испытания р = 0.9; q = 1 – р = 0.1; n = 7. Найти а) р7(5); б) р7 (m 5 7) |
2 |
Сосчитать требуемую
вероятность по формуле Бернулли
|
Так
как n
< 10, нужно
воспользоваться формулой Бернулли
|
Алгоритм №7